Задание №13 — Пирамиды

Решение:
Для вычисления объёма любой пирамиды используется классическая формула: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H$$ Согласно условию, в основании пирамиды находится правильный (равносторонний) треугольник, сторона которого $a = 9$. Рассчитаем его площадь по формуле для правильного треугольника: $$S_{осн} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{9^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{81 \sqrt{3}}{4}$$ Поскольку ребро SA перпендикулярно плоскости основания, оно и является высотой данной пирамиды ($h = 5\sqrt{3}$).
Теперь подставим полученную площадь основания и высоту в формулу объёма: $$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{81 \sqrt{3}}{4} \cdot 5 \sqrt{3}$$ Заметим, что произведение $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, поэтому множитель $3$ в знаменателе и корни в числителе сокращаются: $$V = \frac{81 \cdot 5}{4} = \frac{405}{4} = 101{,}25$$

Ответ: 101,25

Источник: ФИПИ