Задание №14 — Анализ выражений

#69832Задание №14ФИПИ

Системы счисления

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 19.
$98897 x 21_{19} + 2 x 923_{19}$
В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 19-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение x, при котором значение данного арифметического выражения кратно 18. Для найденного x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 18 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Правильный ответ

469034148

Пояснение

Решение:

Ключевая идея: $18=19-1$ , поэтому в 19-ричной системе работает тот же признак, что признак делимости на 9 в десятичной — число сравнимо по модулю 18 с суммой своих цифр. Сумма цифр первого числа $98897x21_{19}$ равна $9+8+8+9+7+2+1+x=44+x$ , сумма цифр второго числа $2x923_{19}$ равна $2+9+2+3+x=16+x$ .

Значит, всё выражение сравнимо с $(44+x)+(16+x)=60+2x$ по модулю 18. Так как $60=3\cdot 18+6$ , условие принимает вид $6+2x\equiv 0 \pmod{18}$ , то есть $x\equiv 6 \pmod 9$ . В алфавите 19-ричной системы цифры принимают значения от 0 до 18, поэтому подходят $x=6$ и $x=15$ ; наибольшее из них — $x=15$ .

Остаётся подставить $x=15$ , перевести оба числа в десятичную систему и разделить сумму на 18. Проще всего доверить это программе: цифру со значением 15 удобно записать буквой f, тогда функция int сама переведёт запись из 19-ричной системы.

digits = '0123456789abcdefghi'      # цифры 19-ричной системы: 0 ... 18

for x in range(19):
    a = int('98897' + digits[x] + '21', 19)
    b = int('2' + digits[x] + '923', 19)
    if (a + b) % 18 == 0:
        print(x, (a + b) // 18)

# 6 469030538
# 15 469034148   -- наибольшее x

При

x=15

сумма равна

8442614664

, а частное от деления на 18 —

469034148

. Ответ: 469034148