Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Все основания степеней — степени пятёрки, поэтому приведём слагаемые к степеням числа 25: $3125^8=5^{40}=25^{20}$, $625^7=5^{28}=25^{14}$, $625^6=5^{24}=25^{12}$, $125^5=5^{15}=5\cdot 25^{7}$, а $2024=3\cdot 25^2+5\cdot 25+24$. Выражение превращается в $3\cdot 25^{20}+2\cdot 25^{14}-4\cdot 25^{12}+15\cdot 25^{7}-2\cdot 25^{4}-3\cdot 25^{2}-5\cdot 25-24$.

Слагаемые со знаком «минус» портят готовую 25-ричную запись: приходится занимать единицу у старшего разряда. Например, $2\cdot 25^{14}-4\cdot 25^{12}=25^{14}+621\cdot 25^{12}=1\cdot 25^{14}+24\cdot 25^{13}+21\cdot 25^{12}$ — нулей здесь не появляется. Надёжнее выполнить перевод программой, последовательно деля значение на 25 с остатком.

v = 3*3125**8 + 2*625**7 - 4*625**6 + 3*125**5 - 2*25**4 - 2024

d = []
while v:
    d.append(v % 25)
    v //= 25
d.reverse()

print(d)
print(d.count(0))

Программа выдаёт 21 цифру: 3, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 24, 21, 0, 0, 0, 0, 14, 24, 24, 22, 24, 21, 19, 1. Нули стоят в разрядах $25^{19}$–$25^{15}$ (пять штук) и $25^{11}$–$25^{8}$ (ещё четыре), итого девять значащих нулей. Ответ: 9