Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём все слагаемые к степеням пятёрки: $25^{2022}=5^{4044}$, $125^{1011}=5^{3033}$, $660 = 10120_5$. Тогда

$$N = 4\cdot 5^{4044} + 5^{3033} - 2\cdot 5^{2000} - 3\cdot 5^{100} - 660.$$

Каждое вычитание порождает заём, а заём из старшего разряда превращает длинную цепочку нулей в цепочку максимальных цифр 4. Аккуратно раскрыв все заёмы, получаем такую запись числа $N$ в пятеричной системе (всего 4045 цифр):

4, затем 1011 нулей, затем 1032 четвёрки, затем 2, затем 1899 четвёрок, затем 1, затем 95 четвёрок, затем 3, 4, 3, 3, 0.

Считаем четвёрки: $1 + 1032 + 1899 + 95 + 1 = 3028$.

Проще и надёжнее посчитать это программой:

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"[n % b] + s
        n //= b
    return s

n = 4 * 25**2022 - 2 * 5**2000 + 125**1011 - 3 * 5**100 - 660
print(to_base(n, 5).count('4'))     # 3028

Ответ: 3028