Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём всё к степеням тройки: $9^{800}=3^{1600}$, $81=3^4$. Тогда

$$N = 3^{2020} + 3^{1600} - 3^{1020} - 3^{4}.$$

Разберём запись по разрядам (нумеруем разряды справа, начиная с нулевого).

$3^{1600}-3^{1020} = 3^{1020}\left(3^{580}-1\right)$ — это 580 двоек в разрядах с 1599-го по 1020-й.

Теперь вычитаем $3^4$: заём берётся из младшей двойки (разряд 1020), она становится единицей, а все разряды с 1019-го по 5-й превращаются в двойки; в разряде 4 получается $3-1=2$. Итого двойки стоят в разрядах с 1019-го по 4-й — это 1016 двоек, а разряды 3, 2, 1, 0 нулевые.

Старшая единица $3^{2020}$ остаётся на месте, между ней и разрядом 1599 стоят нули (разряды с 2019-го по 1600-й, их 420).

Итого запись: 1, 420 нулей, 579 двоек, 1, 1016 двоек, 4 нуля. Количество двоек: $579 + 1016 = 1595$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % b) + s
        n //= b
    return s

n = 3**2020 - 3**1020 + 9**800 - 81
print(to_base(n, 3).count('2'))     # 1595

Ответ: 1595