Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём всё к степеням четвёрки: $16^{100}=4^{200}$, $64=4^{3}$. Тогда

$$N = 4^{700} + 4^{100} - 4^{200} - 4^{3}.$$

Сначала $4^{700}-4^{200} = 4^{200}\left(4^{500}-1\right)$ — это 500 троек в разрядах с 699-го по 200-й, ниже нули.

Прибавляем $4^{100}$ (единица в разряде 100) и вычитаем $4^{3}$: заём съедает эту единицу, разряды с 99-го по 4-й становятся тройками, а в разряде 3 получается $4-1=3$. Значит, тройки стоят в разрядах с 99-го по 3-й — это 97 троек, а разряды 2, 1, 0 нулевые.

Итого запись: 500 троек, 100 нулей, 97 троек, 3 нуля. Количество троек: $500 + 97 = 597$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % b) + s
        n //= b
    return s

n = 4**700 + 4**100 - 16**100 - 64
print(to_base(n, 4).count('3'))     # 597

Ответ: 597