Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Приведём всё к степеням тройки: $9^{111}=3^{222}$, $8 = 22_3$. Тогда

$$N = 3^{333} - 3^{222} + \left(3^{22} - 8\right).$$

$3^{333}-3^{222} = 3^{222}\left(3^{111}-1\right)$ — это 111 двоек в разрядах с 332-го по 222-й, ниже нули.

Далее $3^{22}-8 = \left(3^{22}-3^{2}\right)+1$. Разность $3^{22}-3^{2} = 3^{2}\left(3^{20}-1\right)$ даёт 20 двоек в разрядах с 21-го по 2-й, а прибавленная единица становится младшей цифрой. Получаем 20 двоек, затем 0, затем 1.

Итого запись: 111 двоек, 200 нулей, 20 двоек, 0, 1 (всего 333 цифры). Количество двоек: $111 + 20 = 131$.

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = str(n % b) + s
        n //= b
    return s

n = 3**333 + 3**22 - 9**111 - 8
print(to_base(n, 3).count('2'))     # 131

Ответ: 131