Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Переведём все слагаемые в степени восьмёрки: $4^{2022}=2^{4044}=8^{1348}$, $6\cdot 4^{522}=6\cdot 2^{1044}=6\cdot 8^{348}$, $5\cdot 64^{510}=5\cdot 8^{1020}$, $3\cdot 2^{330}=3\cdot 8^{110}$, $100 = 144_8$. Тогда

$$N = 8^{1348} + 5\cdot 8^{1020} - 6\cdot 8^{348} - 3\cdot 8^{110} - 144_8.$$

Каждое вычитание берёт заём у ближайшей слева ненулевой цифры и превращает промежуточные нули в максимальные цифры 7. Раскрыв все заёмы, получаем восьмеричную запись из 1349 цифр:

1, затем 327 нулей, затем 4, затем 671 семёрка, затем 1, затем 237 семёрок, затем 4, затем 107 семёрок, затем 6, 3, 4.

Количество семёрок: $671 + 237 + 107 = 1015$.

Тот же результат даёт программа:

def to_base(n, b):
    s = ''
    while n:
        s = "0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ"[n % b] + s
        n //= b
    return s

n = 4**2022 - 6 * 4**522 + 5 * 64**510 - 3 * 2**330 - 100
print(to_base(n, 8).count('7'))     # 1015

Ответ: 1015