Задание 14

Знание позиционных систем счисления · 28 заданий

Задание №14
№14
Определите количество цифр с числовым значением, превышающим 9, в 27-ричной записи числа, заданного выражением: 2 · 729²⁰¹⁴ + 2 · 243²⁰¹⁶ – 2 · 81²⁰¹⁸…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 123 x 5₁₅ + 1 x 233₁₅ В записи чисел переменной x обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3 · 4³⁸ + 2 · 4²³ + 4²⁰ + 3 · 4⁵ + 2 · 4⁴ + 1 записали в системе счисления с основанием 16. Сколько значащих нулей…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение выражения 49⁷ + 7²¹ − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 26. 13 ух 5₂₆ + 24 у 13₂₆ В записи чисел переменными х и у обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 21. 12 yx 9₂₁ + 36 y 99₂₁ В записи чисел переменными x и y обозначены две…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 17. 135 x 9₁₇ + 9 x 531₁₇ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 243⁵⁴⁰ - 6 · 9⁵³⁰ + 21 · 3⁵¹¹ - 3 · 3⁷⁰ - 200 записали в системе счисления с основанием 9. Определите количество ци…
Системы счисления
Задание №14
№14
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15. 135 x 7₁₅ + 7 x 531₁₅ В записи чисел переменной х обозначена неизвест…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 4²⁰²² - 2 · 4¹¹¹¹ + 16⁶⁰⁰ + 192 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой зап…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 2 · 3²⁰²² + 5 · 3¹⁸⁰⁰ + 3¹⁰⁰¹ + 4 · 3¹⁰⁰⁰ + 3 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей с…
Системы счисления
Задание №14
№14
Значение арифметического выражения 3²⁰²¹ + 5 · 3²⁰⁰⁰ + 3⁵⁰¹ + 5 · 3⁵⁰⁰ + 1 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько значащих нулей содержи…
Системы счисления

Задание №14 — Анализ выражений

Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 23.
$1 x 1 x 1 x 1 x 1_{23} + 20 x 24_{23} + 1 x 235_{23}$
В записи чисел переменной х обозначена неизвестная цифра из алфавита 23-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение х, при котором значение данного арифметического выражения кратно 22. Для найденного х вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 22 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.

Правильный ответ

4651779499

Пояснение

Решение:

Основание системы счисления 23, а делитель $22 = 23-1$ . Так как $23 \equiv 1 \pmod{22}$ , любое число сравнимо по модулю 22 с суммой своих 23-ричных цифр (это тот же признак, что и признак делимости на 9 в десятичной системе). Значит, вся сумма делится на 22 тогда и только тогда, когда на 22 делится сумма всех цифр трёх слагаемых.

Считаем суммы цифр:

$1x1x1x1x1_{23}$ : $5 + 4x$ ;
$20x24_{23}$ : $2+0+x+2+4 = 8 + x$ ;
$1x235_{23}$ : $1+x+2+3+5 = 11 + x$ .

Всего $24 + 6x$ . Требуем $24 + 6x \equiv 0 \pmod{22}$ , то есть $6x \equiv 20 \pmod{22}$ , или $3x \equiv 10 \pmod{11}$ , откуда $x \equiv 7 \pmod{11}$ . В алфавите 23-ричной системы подходят $x = 7$ и $x = 18$ ; наименьшее — $x = 7$ .

Подставляем $x=7$ и делим сумму на 22:

b = 23

def num(ds):
    n = 0
    for d in ds:
        n = n * b + d
    return n

for x in range(b):                       # ищем наименьшее x
    s = (num([1, x, 1, x, 1, x, 1, x, 1])
         + num([2, 0, x, 2, 4])
         + num([1, x, 2, 3, 5]))
    if s % 22 == 0:
        print(x, s // 22)                # 7 4651779499
        break

Ответ: 4651779499