Задание №14 — Анализ выражений

Решение:

Основание системы счисления 23, а делитель $22 = 23-1$. Так как $23 \equiv 1 \pmod{22}$, любое число сравнимо по модулю 22 с суммой своих 23-ричных цифр (это тот же признак, что и признак делимости на 9 в десятичной системе). Значит, вся сумма делится на 22 тогда и только тогда, когда на 22 делится сумма всех цифр трёх слагаемых.

Считаем суммы цифр:

• $1x1x1x1x1_{23}$: $5 + 4x$;
• $20x24_{23}$: $2+0+x+2+4 = 8 + x$;
• $1x235_{23}$: $1+x+2+3+5 = 11 + x$.

Всего $24 + 6x$. Требуем $24 + 6x \equiv 0 \pmod{22}$, то есть $6x \equiv 20 \pmod{22}$, или $3x \equiv 10 \pmod{11}$, откуда $x \equiv 7 \pmod{11}$. В алфавите 23-ричной системы подходят $x = 7$ и $x = 18$; наименьшее — $x = 7$.

Подставляем $x=7$ и делим сумму на 22:

b = 23

def num(ds):
    n = 0
    for d in ds:
        n = n * b + d
    return n

for x in range(b):                       # ищем наименьшее x
    s = (num([1, x, 1, x, 1, x, 1, x, 1])
         + num([2, 0, x, 2, 4])
         + num([1, x, 2, 3, 5]))
    if s % 22 == 0:
        print(x, s // 22)                # 7 4651779499
        break

Ответ: 4651779499