ЕГЭ Математика (профиль)

В треугольнике $ABC$ точки $A_{1} , B_{1}$ ​ и $C_{1}$ ​ - середины сторон $BC , AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ - высота, $\angle BAC = 60^{\circ} , \angle BCA = 45^{\circ} .$ а) Докажите, что т…

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC .$ Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD .$ а) Докажите, что луч…

Окружность проходит через вершины $A , B$ и $C$ параллелограмма $ABCD ,$ пересекает продолжение стороны $AD$ за точку $D$ в точке $K$ и продолжение стороны $AD$ за…

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC .$ Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $ABM$ и $DCM$ прямые. а) Докажите, что…

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $R = 8 .$ Известно, что $AB = BC = CD = 12 .$ а) Докажите, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны. б) Найдите…

На сторонах $AB , BC$ и $AC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $C_{1} , A_{1}$ ​ и $B_{1}$ ​ соответственно, причём A $AC_{1} : C_{1} B = 8 : 3 ,$ $BA_{1} : A_{1} C = 1 : 2 ,$…

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC ,$ пересекает сторону $AD$ в точке $M ,$ равноудалённой от вершин $B$ и…

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3 , BC = DE = 4 .$ а) Докажите, что $AC = CE .$ б) Найдите длину диагонали $BE ,$ если…

Сумма оснований трапеции равна 13, а её диагонали равны 5 и 12. а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдите высоту трапеции.

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD = 3 , BD = DE = 4 .$ а) Докажите, что $AC = CE .$ б) Найдите длину диагонали$BE ,$ если…

Дано $ABCDE$ - вписанный пятиугольник, $BE \cap AD = M ,$ $BCDM$ - параллелограмм. Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H .$ а) Докажите, что $\angle BB 1 C 1 = \angle BAH .$ б) Найдите расстояние от центра окружно…