ЕГЭ Математика (профиль)

Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H .$ а) Докажите, что $\angle AHB_{1} = \angle ACB .$ б) Найдите $BC ,$ если $AH = 4$ и $\angle BAC = 60^{\circ} .$…

$ABC$ - остроугольный треугольник. Высоты $BB_{1}$ и $CC_{1}$ пересекаются в точке $H .$ а) Докажите, что $\angle BAH = \angle BB_{1} C_{1} .$ б) Найдите расстояние от центра описан…

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй – в точке B. Прямая BK пересекает первую…

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD ,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M ,$ диагональ $BD$ в точке $N ,$ при чем $AM : MC = 1 : 2 ,$…

Прямая, перпендикулярная стороне $AD$ ромба $ABCD ,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M ,$ диагональ $BD$ в точке $N ,$ причем $AM : MC = 1 : 2 ,$…

Дана трапеция $KLMN$ c основаниями $KN$ и $LM .$ Диагональ $LN$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $KN$ и $MN .$ a) Докажите, что луч…

Две окружности касаются внутренним образом в точке $А ,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в то…

Две окружности касаются внешним образом в точке $K .$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A ,$ а второй – в точке $B .$ Прямая $BK$ пересекает перв…

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система $\left\{\begin{matrix} 2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + a , \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ имеет ро…

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система $\left\{\begin{matrix} 6 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7 \left|x\right| + 1 = 6 y + 7 x^{2} + a , \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ имеет ро…

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система $\left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2^{\left|x\right|} + 5 \left|x\right| + 4 = 3 y + 5 x^{2} + 3 a , \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ имеет…

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система $\left\{\begin{matrix} 5 \cdot 2^{\left|x\right|} + 6 \left|x\right| + 7 = 5 y + 6 x^{2} - a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$ имеет един…