Вариант 10 · Май 2026

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен $21^{\circ} .$ Найдите величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах. 

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} ( 3 ; 1 )$ и $\overset{\rightarrow}{b} ( 2 ; - 6 ) .$ Найдите значение выражения $\left(\overset{\rightarrow}{a} + \overset{\rightarrow}{b}\right) \left(5 \overset{\rightarrow}{a} - \overset{\rightarrow}{b}\right) .$

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 52, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,61. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно.

Найдите корень уравнения $4^{x - 3} = 64 .$

Найдите значение выражения $\frac{3 \sin 68^{\circ}}{\cos 34^{\circ} \cdot \cos 56^{\circ}} .$

На рисунке изображён график $y = f ' ( x )$ - производной функции $f ( x ) .$ На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_{1} , x_{2} , x_{3} , x_{4} , x_{5} ,$$x_{6} , x_{7} , x_{8} , x_{9} , x_{10} , x_{11} .$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f ( x ) ?$

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a = 4500$ км/ч². Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $v = \sqrt{2 la} ,$ где $l$ - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f ( x ) = a^{x} .$ Найдите значение $f ( 2 ) .$

Найдите точку максимума функции $y = 10 \cdot \ln \left(x - 2\right) - 10 x + 11 .$

а) Решите уравнение $\frac{\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x )}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right] .$

В пирамиде $ABCD$ ребра $DA , DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6 \sqrt{2}$
а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На ребрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причем $DM : MA = DN : NC = 1 : 2 .$ Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB .$

Решите неравенство: $\log _{25} \left(x - 4\right) \left(x^{2} - 2 x - 8\right) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} \left(x - 4\right)^{2} .$

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC .$ Диагональ $BD$ разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями $AD$ и $CD .$
а) Докажите, что луч $AC$ - биссектриса угла $BAD .$
б) Найдите $CD ,$ если известны диагонали трапеции: $AC = 15$ и $BD = 8{,}5 .$

Найдите все положительные значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} \left|x\right| + \left|y\right| = a , \\ y = \sqrt{x + 4} \end{matrix}\right.$
имеет ровно два различных решения.

На столе лежат 4 камня по 5 кг и 13 камней по 14 кг. Их разделили на 2 кучки.
а) Может ли разность масс двух этих кучек камней быть равна 6 кг?
б) Могут ли массы двух этих кучек быть равны?
в) Какая наименьшая положительная разность масс может быть у двух этих кучек камней?