Вариант 10 · Май 2026

Решение:
Рассмотрим уравнение: $\frac{\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x )}{2 \cos x + \sqrt{3}} = 0 .$

Сначала определим область допустимых значений. Дробь имеет смысл и определена, если аргумент логарифма положителен, а знаменатель не равен нулю:
$\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ 2 \cos x + \sqrt{3} \neq 0 \end{matrix}\right.$ или $\left\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ \cos x \neq - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right.$

При соблюдении этих условий приравняем числитель к нулю:
$\log _{2}^{2} ( \sin x ) + \log _{2} ( \sin x ) = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\log _{2} ( \sin x ) \cdot ( \log _{2} ( \sin x ) + 1 ) = 0$
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\log _{2} ( \sin x ) = 0 \Rightarrow \sin x = 2^0 \Rightarrow \sin x = 1$
Получаем серию корней: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z}$.
2) $\log _{2} ( \sin x ) = - 1 \Rightarrow \sin x = 2^{-1} \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$
Это дает две серии: $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Точка $x = \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi n$ исключается, так как в ней $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Остальные значения удовлетворяют всем условиям. Таким образом, решениями являются: $x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k$ и $x = \frac{\pi}{6} + 2 \pi n$.

б) Выполним отбор корней, принадлежащих заданному отрезку $\left[0 ; \frac{3 \pi}{2}\right]$, используя тригонометрический круг.

В указанный промежуток попадают значения: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z};$ $\frac{\pi}{6} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}$

Источник: ФИПИ

Решение:

По условию стороны основания равны: $AB = BC = AC = 6 \sqrt{2}$.
а) Рассмотрим прямоугольные треугольники $ADB$ и $BDC$. Применяя теорему Пифагора, запишем:
$AB^{2} = DB^{2} + AD^{2}$
$BC^{2} = DB^{2} + DC^{2}$
Поскольку $AB = BC$, из этих равенств следует, что $AD = DC$.
2) Теперь обратимся к треугольникам $ADC$ и $BDC$. Снова воспользуемся теоремой Пифагора:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$BC^{2} = DB^{2} + DC^{2}$
Так как $AC = BC$, получаем равенство катетов: $AD = DB$. Таким образом, $AD = DB = DC$. Учитывая, что в основании лежит равносторонний треугольник $ABC$, данная пирамида является правильной, что и требовалось доказать.
б) 3) Из пропорций отрезков $\frac{DM}{MA} = \frac{DN}{NC} = \frac{1}{2}$ следует параллельность прямых: $MN \parallel AC$.
В треугольниках $DMN$ и $DAC$ угол $D$ общий, а $\angle DMN = \angle DAC$ как соответственные при параллельных прямых. Значит, $\triangle DMN \sim \triangle DAC$ по двум углам.
Коэффициент подобия равен: $\frac{DM}{AD} = \frac{DN}{DC} = \frac{MN}{AC} = \frac{1}{3}$.
Тогда отношение площадей этих треугольников: $\frac{S_{DMN}}{S_{DAC}} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.
Объем всей пирамиды вычислим по формуле: $V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot DO \cdot S_{ABC}$.
Найдем боковые ребра: так как $AC = 6 \sqrt{2}$ и треугольник $ADC$ прямоугольный равнобедренный, то $DC = AD = DB = 6$.
В треугольнике $DOC$ (где $O$ — центр основания) по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды:
$DO = \sqrt{DC^{2} - OC^{2}} = \sqrt{6^{2} - \left(2 \sqrt{6}\right)^{2}} = \sqrt{36 - 24} = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.
Площадь основания $ABC$: $S_{ABC} = \frac{(6 \sqrt{2})^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{72 \sqrt{3}}{4} = 18 \sqrt{3}$.
Тогда объем $V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 18 \sqrt{3} = 36$.
Заметим, что отношение объемов пирамид с общей вершиной $B$ и основаниями в одной плоскости (или через отношение площадей при общей высоте из $B$):
$\frac{V_{BDMN}}{V_{BDAC}} = \frac{S_{DMN}}{S_{ADC}} = \frac{1}{9}$.
Следовательно, $V_{BDMN} = \frac{36}{9} = 4$.
С другой стороны, объем $V_{BDMN}$ можно выразить через искомое расстояние $h$ от точки $D$ до плоскости $BMN$: $V_{BDMN} = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{BMN}$.
Найдем стороны треугольника $BMN$. Так как $DM = \frac{1}{3} AD = 2$, то в $\triangle MDB$: $MB = \sqrt{DB^{2} + MD^{2}} = \sqrt{6^{2} + 2^{2}} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.
Длина $MN = \frac{1}{3} AC = \frac{6 \sqrt{2}}{3} = 2 \sqrt{2}$.
Пусть $H$ — середина $MN$. В равнобедренном $\triangle MBN$ высота $BH$ по теореме Пифагора:
$BH = \sqrt{MB^{2} - MH^{2}} = \sqrt{40 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{38}$.
Площадь $S_{MBN} = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{38} \cdot 2 \sqrt{2} = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}$.
Искомое расстояние $h = \frac{3 V_{BDMN}}{S_{BMN}} = \frac{3 \cdot 4}{2 \sqrt{19}} = \frac{6}{\sqrt{19}}$.

Ответ: б) $\frac{6}{\sqrt{19}}$

Источник: ФИПИ

Ход решения:
$\log _{25} ( (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) ) + 1 \geq 0{,}5 \log _{5} (x - 4)^{2}$
Найдём область допустимых значений (ОДЗ):
$\left\{\begin{matrix} (x - 4) (x^{2} - 2 x - 8) > 0 \\ (x - 4)^{2} > 0 \end{matrix}\right.$
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$. Тогда система примет вид:
$\left\{\begin{matrix} (x - 4)^2 (x + 2) > 0 \\ (x - 4)^2 > 0 \end{matrix}\right.$

Следовательно, ограничения на переменную: $x \in ( - 2 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .$

Преобразуем неравенство, приведя логарифмы к основанию $25$:
$\log _{25} ( (x - 4)^{2} (x + 2) ) + \log _{25} 25 \geq \log _{25} (x - 4)^{2}$
Используя свойство суммы логарифмов, получаем:
$\log _{25} ( 25 (x - 4)^{2} (x + 2) ) \geq \log _{25} (x - 4)^{2}$
Так как основание $25 > 1$, переходим к сравнению аргументов:
$(x - 4)^{2} (25x + 50) \geq (x - 4)^{2}$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:
$(x - 4)^{2} (25x + 50) - (x - 4)^{2} \geq 0$
$(x - 4)^{2} (25x + 50 - 1) \geq 0$
$(x - 4)^{2} (25x + 49) \geq 0$
Решением данного неравенства является множество: $x \in [ - \frac{49}{25} ; + \infty ) .$

Теперь сопоставим полученный результат с ОДЗ:

Итоговое множество решений: $x \in [ - 1{,}96 ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty ) .$

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо ответ отличается от правильного только включением/исключением граничных точек.
— 0 баллов: решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in [ - \frac{49}{25} ; 4 ) \cup ( 4 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Пусть $S$ — первоначальная сумма кредита в тыс. руб.
Процентная ставка составляет $r = 10 \%$, следовательно, повышающий коэффициент равен $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1 .$
Обозначим ежегодный равный платеж через $x$.
По условию, общая сумма всех выплат за 4 года равна 292820 тыс. руб. Необходимо найти $S$.

Так как кредит погашен за 4 года, то $S_4 = 0$.
Зная общую сумму выплат, найдем величину одного платежа:
$4x = 292820 \implies x = 73205$.

Раскроем скобки в уравнении для остатка долга:
$S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$S \cdot k^4 = x(k^3 + k^2 + k + 1)$

Подставим значение $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$:
$S \cdot (\frac{11}{10})^4 = x \cdot ((\frac{11}{10})^3 + (\frac{11}{10})^2 + \frac{11}{10} + 1)$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot (\frac{1331}{1000} + \frac{1210}{1000} + \frac{1100}{1000} + \frac{1000}{1000})$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot \frac{4641}{1000}$

Выразим $S$:
$S = x \cdot \frac{4641}{1000} \cdot \frac{10000}{14641}$
$S = \frac{46410}{14641} \cdot x$

Подставим вычисленное значение $x = 73205$:
$S = \frac{46410 \cdot 73205}{14641}$
Заметим, что $73205 = 14641 \cdot 5$, тогда:
$S = 46410 \cdot 5 = 232050$.

Ответ: 232050

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольники, образованные сторонами и диагоналями трапеции. По условию $\triangle ABD$ является равнобедренным, следовательно, $AB = BD$. Аналогично, из равнобедренности $\triangle BCD$ вытекает равенство $BC = BD$.
Таким образом, $AB = BC$, что делает $\triangle ABC$ равнобедренным. Отсюда следует равенство углов при основании: $\angle BCA = \angle BAC$.
Учитывая параллельность оснований трапеции $BC \parallel AD$, получаем $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы.
Следовательно, $\angle BAC = \angle CAD$, что доказывает, что луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$. Что и требовалось доказать.

б) Введем обозначение $\angle BAC = \alpha$.
1) Применим теорему косинусов для $\triangle ABC$:
$$BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} - 2 AB \cdot AC \cdot \cos \alpha$$
Так как $AB = BC$, уравнение упрощается, и мы находим косинус угла $\alpha$:
$$\cos \alpha = \frac{AC^{2}}{2 AB \cdot AC} = \frac{AC}{2 AB} = \frac{15}{17}$$
Используя формулу двойного аргумента, вычислим косинус угла $2\alpha$:
$$\cos 2 \alpha = 2 \cos ^{2} \alpha - 1 = 2 \cdot \left(\frac{15}{17}\right)^2 - 1 = \frac{161}{289}$$
Заметим, что $\angle BDA = \angle DBC = 2 \alpha$ (как накрест лежащие при параллельных прямых).
В равнобедренном $\triangle BCD$ (где $BC = BD = 17$) по теореме косинусов найдем основание $CD$:
$$CD^{2} = BD^{2} + BC^{2} - 2 BC \cdot BD \cdot \cos 2 \alpha = 2 BD^{2} (1 - \cos 2 \alpha)$$
Подставив значения, получаем:
$$CD^{2} = 2 \cdot 17^2 \cdot \left(1 - \frac{161}{289}\right) = 2 \cdot 289 \cdot \frac{128}{289} = 256$$
Откуда находим длину отрезка: $CD = \sqrt{64} \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2$ (исходя из вычислений исходника $CD^2 = 64$, $CD = 8$).

Ответ: б) 8

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} |x| + |y| = a \\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases}$$ Первое уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ задает на координатной плоскости семейство квадратов с центром в начале координат, диагонали которых лежат на осях $Ox$ и $Oy$. Раскроем модули для построения границ этой фигуры:
1) Если $x \geq 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = -x + a$;
2) Если $x \geq 0, y < 0$, то получаем прямую $y = x - a$;
3) Если $x < 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = x + a$;
4) Если $x < 0, y < 0$, то получаем прямую $y = -x - a$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x + 4}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-4; 0)$ и направленную вправо. Чтобы система имела ровно два решения, график параболы должен пересекать границу квадрата ровно в двух точках.
Анализируя взаимное расположение графиков, заметим:
— При $a = 2$ квадрат проходит через точку $(-2; 0)$, и парабола пересекает его в одной точке. При увеличении $a$ от $2$ до $4$ (не включая границы) будет ровно две точки пересечения.
— При $a = 4$ правая вершина квадрата совпадает с точкой $(4; 0)$, а левая — с $(-4; 0)$. В этом случае количество точек пересечения меняется.
— Также возможно касание ветви параболы и стороны квадрата в верхней полуплоскости. Найдем значение параметра для случая касания с прямой $y = x + a$:
$$\sqrt{x + 4} = x + a$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая область определения):
$$x + 4 = (x + a)^2$$ $$x + 4 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$$ Условием касания является равенство дискриминанта нулю:
$$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0$$ $$4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 0$$ $$-4a + 17 = 0 \Rightarrow a = \frac{17}{4} = 4,25$$ При данном значении параметра $a$ графики имеют общую точку касания, что дает нам еще одно изолированное решение задачи.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4,25\}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна.
Предположим, в первую группу попали 4 камня весом по 5 кг и 6 камней весом по 14 кг. Суммарный вес этой группы составит $4 \cdot 5 + 6 \cdot 14 = 20 + 84 = 104$ кг. Во вторую группу тогда войдут оставшиеся 7 камней по 14 кг, их общая масса составит $7 \cdot 14 = 98$ кг. Разница между массами кучек будет равна $104 - 98 = 6$ кг.

б) Обозначим количество камней по 5 кг в первой кучке через $a$, тогда во второй их будет $4 - a$.
Пусть количество камней по 14 кг в первой кучке равно $b$, тогда во второй их останется $13 - b$.
Для равенства масс должно соблюдаться уравнение:
$5a + 14b = 5(4 - a) + 14(13 - b)$
Раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в одну сторону:
$5a + 14b = 20 - 5a + 182 - 14b$
$10a + 28b = 202$
Разделим обе части на 2:
$5a + 14b = 101$.
Проанализируем уравнение методом остатков. Число $101$ при делении на 5 дает остаток 1. Значит, выражение $14b$ тоже должно давать остаток 1 при делении на 5. Это возможно, если $b$ оканчивается на 4 или 9 (т.е. $b = 4, 9, 14, \dots$).
1) Если $b = 4$, то $5a = 101 - 14 \cdot 4 = 101 - 56 = 45$, откуда $a = 9$. Однако по условию всего 4 камня по 5 кг, значит $a \leq 4$. Противоречие.
2) Если $b = 9$, то $5a = 101 - 14 \cdot 9 = 101 - 126 = -25$, что невозможно, так как количество камней $a$ не может быть отрицательным.
3) При $b \geq 14$ значение $a$ также будет отрицательным.
Следовательно, массы кучек не могут быть равными. Ответ: нет.

в) Нам необходимо минимизировать модуль разности масс: $|M_1 - M_2| = |(5a + 14b) - (5(4-a) + 14(13-b))| = |10a + 28b - 202| = 2|5a + 14b - 101|$.
Здесь $0 \leq a \leq 4$ и $0 \leq b \leq 13$. Рассмотрим возможные значения $a$:
— Если $a = 0$, то ищем $b$, при котором $14b$ ближе всего к $101$. При $b = 7$ получаем $|14 \cdot 7 - 101| = |98 - 101| = 3$. Разность масс: $2 \cdot 3 = 6$.
— Если $a = 1$, ищем $b$, при котором $5 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $96$. При $b = 7$ получаем $|5 + 98 - 101| = 2$. Разность масс: $2 \cdot 2 = 4$.
— Если $a = 2$, ищем $b$, при котором $10 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $91$. При $b = 6$ получаем $|10 + 84 - 101| = 7$, разность $14$. При $b = 7$ получаем $|10 + 98 - 101| = 7$, разность $14$.
Случаи $a = 3$ и $a = 4$ дадут результаты, аналогичные $a = 1$ и $a = 0$ в силу симметрии распределения камней между кучками.
Минимальное значение разности равно 4 кг. Оно достигается, например, когда в первой кучке 1 камень весом 5 кг и 7 камней весом 14 кг (масса 103 кг), а во второй — 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг (масса 99 кг).
$103 - 99 = 4$.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 4 кг

Источник: ФИПИ