Разбор задачи:

Объём исходной призмы $ABCA_{1} B_{1} C_{1}$ вычисляется как произведение площади её основания на высоту:
$V_{ABCA_{1} B_{1} C_{1}} = S_{ABC} \cdot AA_{1} = 52$.
Отсюда выразим высоту призмы: $AA_{1} = \frac{52}{S_{ABC}}$.
Требуется найти объём отсечённой призмы $ADEA_{1} D_{1} E_{1}$, который равен:
$V_{ADEA_{1} D_{1} E_{1}} = S_{ADE} \cdot AA_{1}$.
Так как $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, она отсекает от него треугольник $ADE$, подобный исходному с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно:
$S_{ADE} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot S_{ABC} = \frac{1}{4} S_{ABC}$.
Подставим полученные выражения в формулу искомого объёма:
$V_{ADEA_{1} D_{1} E_{1}} = \frac{1}{4} S_{ABC} \cdot \frac{52}{S_{ABC}} = \frac{52}{4} = 13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ