Задание №3 — Призмы

Разбор задачи:

Объём прямой призмы вычисляется как произведение площади её основания на высоту. Для отсечённой призмы $ADEA_{1}D_{1}E_{1}$ имеем:
$V_{ADEA_{1}D_{1}E_{1}} = S_{ADE} \cdot AA_{1} = 15$.
Отсюда выразим высоту призмы (боковое ребро):
$AA_{1} = \frac{15}{S_{ADE}}$.
Объём исходной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ находится по аналогичной формуле:
$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}} = S_{ABC} \cdot AA_{1}$.
Так как отрезок $DE$ является средней линией треугольника $ABC$, он отсекает от него треугольник $ADE$, подобный исходному с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно:
$S_{ABC} = 4 \cdot S_{ADE}$.
Подставим полученные выражения в формулу искомого объёма:
$V = 4 S_{ADE} \cdot \frac{15}{S_{ADE}} = 4 \cdot 15 = 60$.

Ответ: 60

Источник: ФИПИ