Решение:
Для начала запишем выражение для площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок. ц.} = 2 \pi RH$. Согласно условию задачи, высота цилиндра совпадает с радиусом его основания, то есть $R = H$. Подставив это в формулу, имеем:
$2 \pi R^{2} = 3 \sqrt{2}$.
Теперь рассмотрим конус, вписанный в этот цилиндр. Площадь его боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок. к.} = \pi Rl$, где $l$ — образующая. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения $l$, учитывая, что высота конуса также равна $R$:
$l = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$.
Подставим полученное значение образующей в формулу площади поверхности конуса:
$S_{бок. к.} = \pi \cdot R \cdot R\sqrt{2} = \pi R^{2} \sqrt{2}$.
Из первого уравнения мы знаем, что $\pi R^{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$. Выполним итоговую подстановку:
$S_{бок. к.} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ