Решение:
Для начала запишем формулу площади боковой поверхности цилиндра:
$S_{бок. ц.} = 2 \pi RH.$ Исходя из условия задачи, радиус основания равен высоте цилиндра ($R = H$), следовательно:
$$2 \pi R^{2} = 77 \sqrt{2}$$ Отсюда выразим значение произведения $\pi R^{2}$: $$\pi R^{2} = \frac{77 \sqrt{2}}{2}$$ Теперь рассмотрим конус. Площадь его боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок. к.} = \pi Rl$, где $l$ — образующая. Так как высота конуса совпадает с высотой цилиндра ($H = R$), найдем образующую через радиус, используя теорему Пифагора: $$l = \sqrt{R^{2} + H^{2}} = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2R^{2}} = R\sqrt{2}$$ Подставим полученное выражение для $l$ в формулу площади боковой поверхности конуса: $$S_{бок. к.} = \pi R \cdot (R \sqrt{2}) = \pi R^{2} \sqrt{2}$$ Используя ранее найденное значение $\pi R^{2}$, произведем расчет: $$S_{бок. к.} = \frac{77 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{77 \cdot 2}{2} = 77$$

Ответ: 77

Источник: ФИПИ