Решение:
а) Да, такая ситуация возможна.
Предположим, в первую группу попали 4 камня весом по 5 кг и 6 камней весом по 14 кг. Суммарный вес этой группы составит $4 \cdot 5 + 6 \cdot 14 = 20 + 84 = 104$ кг. Во вторую группу тогда войдут оставшиеся 7 камней по 14 кг, их общая масса составит $7 \cdot 14 = 98$ кг. Разница между массами кучек будет равна $104 - 98 = 6$ кг.

б) Обозначим количество камней по 5 кг в первой кучке через $a$, тогда во второй их будет $4 - a$.
Пусть количество камней по 14 кг в первой кучке равно $b$, тогда во второй их останется $13 - b$.
Для равенства масс должно соблюдаться уравнение:
$5a + 14b = 5(4 - a) + 14(13 - b)$
Раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в одну сторону:
$5a + 14b = 20 - 5a + 182 - 14b$
$10a + 28b = 202$
Разделим обе части на 2:
$5a + 14b = 101$.
Проанализируем уравнение методом остатков. Число $101$ при делении на 5 дает остаток 1. Значит, выражение $14b$ тоже должно давать остаток 1 при делении на 5. Это возможно, если $b$ оканчивается на 4 или 9 (т.е. $b = 4, 9, 14, \dots$).
1) Если $b = 4$, то $5a = 101 - 14 \cdot 4 = 101 - 56 = 45$, откуда $a = 9$. Однако по условию всего 4 камня по 5 кг, значит $a \leq 4$. Противоречие.
2) Если $b = 9$, то $5a = 101 - 14 \cdot 9 = 101 - 126 = -25$, что невозможно, так как количество камней $a$ не может быть отрицательным.
3) При $b \geq 14$ значение $a$ также будет отрицательным.
Следовательно, массы кучек не могут быть равными. Ответ: нет.

в) Нам необходимо минимизировать модуль разности масс: $|M_1 - M_2| = |(5a + 14b) - (5(4-a) + 14(13-b))| = |10a + 28b - 202| = 2|5a + 14b - 101|$.
Здесь $0 \leq a \leq 4$ и $0 \leq b \leq 13$. Рассмотрим возможные значения $a$:
— Если $a = 0$, то ищем $b$, при котором $14b$ ближе всего к $101$. При $b = 7$ получаем $|14 \cdot 7 - 101| = |98 - 101| = 3$. Разность масс: $2 \cdot 3 = 6$.
— Если $a = 1$, ищем $b$, при котором $5 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $96$. При $b = 7$ получаем $|5 + 98 - 101| = 2$. Разность масс: $2 \cdot 2 = 4$.
— Если $a = 2$, ищем $b$, при котором $10 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $91$. При $b = 6$ получаем $|10 + 84 - 101| = 7$, разность $14$. При $b = 7$ получаем $|10 + 98 - 101| = 7$, разность $14$.
Случаи $a = 3$ и $a = 4$ дадут результаты, аналогичные $a = 1$ и $a = 0$ в силу симметрии распределения камней между кучками.
Минимальное значение разности равно 4 кг. Оно достигается, например, когда в первой кучке 1 камень весом 5 кг и 7 камней весом 14 кг (масса 103 кг), а во второй — 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг (масса 99 кг).
$103 - 99 = 4$.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 4 кг

Источник: ФИПИ