Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = \left( 10 \ln(x - 2) - 10x + 7 \right)' = \frac{10}{x - 2} - 10$
Решим уравнение $y' = 0$:
$\frac{10}{x - 2} - 10 = 0$
Разделим обе части на 10 и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{x - 2} - 1 = 0$
$\frac{1 - (x - 2)}{x - 2} = 0$
$1 - x + 2 = 0$
$3 - x = 0$
Откуда получаем критическую точку $x = 3$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой с учетом области определения функции ($x > 2$):

При переходе через значение $x = 3$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, искомая точка максимума — это $x = 3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ