Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения точек экстремума вычислим производную заданной функции и определим значения аргумента, при которых она обращается в нуль:
$y' = \left( \frac{x\sqrt{x}}{2} - 3x + 17 \right)' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$
(Заметим, что $x\sqrt{x} = x^{1,5}$, тогда его производная равна $1,5x^{0,5} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$).
Приравняем полученное выражение к нулю:
$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 и умножим на 2:
$\sqrt{x} - 2 = 0$
Откуда получаем:
$\sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$.
Проанализируем знаки производной на числовой прямой с помощью метода интервалов:

Исходя из смены знака производной с минуса на плюс, делаем вывод, что искомая точка минимума — это $x = 4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ