Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Решение:
Для нахождения наибольшего значения функции сначала вычислим её производную и определим критические точки, в которых производная обращается в нуль:
$y' = (11 + 6x - 4x\sqrt{x})' = (11 + 6x - 4x^{3/2})' = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - 6\sqrt{x}$
Приравняем полученное выражение к нулю:
$6 - 6\sqrt{x} = 0$
$6(1 - \sqrt{x}) = 0$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$
Проанализируем знаки производной на области определения функции с помощью координатной прямой:

Из схемы видно, что при переходе через значение $x = 1$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, данная точка является точкой максимума.
Вычислим значение функции в этой точке, которое и будет являться наибольшим:
$y(1) = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 11 + 6 - 4 = 13$

Ответ: 13

Источник: ФИПИ