Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

Правильный ответ

232050

Пояснение

Разбор задачи:
Пусть $S$ — первоначальная сумма кредита в тыс. руб.
Процентная ставка составляет $r = 10 \%$ , следовательно, повышающий коэффициент равен $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1 .$
Обозначим ежегодный равный платеж через $x$ .
По условию, общая сумма всех выплат за 4 года равна 292820 тыс. руб. Необходимо найти $S$ .

Год	Остаток на начало года	Сумма с процентами	Платеж	Остаток после выплаты
1	$S$	$Sk$	$x$	$S_1 = Sk - x$
2	$S_1$	$S_1 k = (Sk - x)k$	$x$	$S_2 = (Sk - x)k - x$
3	$S_2$	$S_2 k = ((Sk - x)k - x)k$	$x$	$S_3 = ((Sk - x)k - x)k - x$
4	$S_3$	$S_3 k = (((Sk - x)k - x)k - x)k$	$x$	$S_4 = (((Sk - x)k - x)k - x)k - x$

Так как кредит погашен за 4 года, то $S_4 = 0$ .
Зная общую сумму выплат, найдем величину одного платежа:
$4x = 292820 \implies x = 73205$ .

Раскроем скобки в уравнении для остатка долга:
$S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$S \cdot k^4 = x(k^3 + k^2 + k + 1)$

Подставим значение $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$ :
$S \cdot (\frac{11}{10})^4 = x \cdot ((\frac{11}{10})^3 + (\frac{11}{10})^2 + \frac{11}{10} + 1)$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot (\frac{1331}{1000} + \frac{1210}{1000} + \frac{1100}{1000} + \frac{1000}{1000})$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot \frac{4641}{1000}$

Выразим $S$ :
$S = x \cdot \frac{4641}{1000} \cdot \frac{10000}{14641}$
$S = \frac{46410}{14641} \cdot x$

Подставим вычисленное значение $x = 73205$ :
$S = \frac{46410 \cdot 73205}{14641}$
Заметим, что $73205 = 14641 \cdot 5$ , тогда:
$S = 46410 \cdot 5 = 232050$ .

Ответ: 232050

Источник: ФИПИ