Задание №16 — Кредиты

Разбор задачи:
Пусть $S$ — первоначальная сумма кредита в тыс. руб.
Процентная ставка составляет $r = 10 \%$, следовательно, повышающий коэффициент равен $k = 1 + \frac{10}{100} = 1{,}1 .$
Обозначим ежегодный равный платеж через $x$.
По условию, общая сумма всех выплат за 4 года равна 292820 тыс. руб. Необходимо найти $S$.

Так как кредит погашен за 4 года, то $S_4 = 0$.
Зная общую сумму выплат, найдем величину одного платежа:
$4x = 292820 \implies x = 73205$.

Раскроем скобки в уравнении для остатка долга:
$S \cdot k^4 - x \cdot k^3 - x \cdot k^2 - x \cdot k - x = 0$
$S \cdot k^4 = x(k^3 + k^2 + k + 1)$

Подставим значение $k = 1{,}1 = \frac{11}{10}$:
$S \cdot (\frac{11}{10})^4 = x \cdot ((\frac{11}{10})^3 + (\frac{11}{10})^2 + \frac{11}{10} + 1)$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot (\frac{1331}{1000} + \frac{1210}{1000} + \frac{1100}{1000} + \frac{1000}{1000})$
$S \cdot \frac{14641}{10000} = x \cdot \frac{4641}{1000}$

Выразим $S$:
$S = x \cdot \frac{4641}{1000} \cdot \frac{10000}{14641}$
$S = \frac{46410}{14641} \cdot x$

Подставим вычисленное значение $x = 73205$:
$S = \frac{46410 \cdot 73205}{14641}$
Заметим, что $73205 = 14641 \cdot 5$, тогда:
$S = 46410 \cdot 5 = 232050$.

Ответ: 232050

Источник: ФИПИ