Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 10 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 15 млн рублей?

Правильный ответ

Пояснение

Разбор задачи:
Введем обозначения для условий кредитования:
Начальная сумма долга $S = 10$ млн рублей;
Процентная ставка банка $r = 10 \%$ годовых;
Срок кредитования — $n$ лет (целое число);
Общий объем всех выплат по договору составляет 15 млн рублей.

Поскольку долг должен уменьшаться равномерно, мы имеем дело со схемой дифференцированных платежей. Составим таблицу начисления процентов и погашения задолженности:

Остаток долга (начало года)	Долг с начисленными %	Размер выплаты	Остаток долга (конец года)
1) $S$	$S + \frac{Sr}{100}$	$\frac{Sr}{100} + \frac{S}{n}$	$S - \frac{S}{n}$
2) $S - \frac{S}{n}$	$\left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$	$S - \frac{2S}{n}$
...	...	...	...
n) $\frac{S}{n}$	$\frac{S}{n} \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$	$0$

Общая сумма выплат складывается из тела кредита $S$ и суммы всех начисленных процентов. Последние образуют арифметическую прогрессию. Воспользуемся формулой суммы выплат:
$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n = 15$ Подставим известные значения $S = 10$ и $r = 10$ :
$10 + \frac{10}{100} \cdot \left(\frac{10 + \frac{10}{n}}{2}\right) \cdot n = 15$
$10 + \frac{1}{20} \cdot (10 + \frac{10}{n}) \cdot n = 15$
Раскроем скобки, умножая на $n$ :
$10 + \frac{1}{20} \cdot (10n + 10) = 15$
Вынесем 10 за скобки и сократим дробь:
$10 + \frac{10(n + 1)}{20} = 15$
$10 + \frac{n + 1}{2} = 15$
Перенесем 10 в правую часть уравнения:
$\frac{n + 1}{2} = 5$
$n + 1 = 10$
$n = 9$ .

Таким образом, кредит был взят на 9 лет.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ