Разбор задачи:
Введем обозначения для условий кредитования:
Начальная сумма долга $S = 10$ млн рублей;
Процентная ставка банка $r = 10 \%$ годовых;
Срок кредитования — $n$ лет (целое число);
Общий объем всех выплат по договору составляет 15 млн рублей.

Поскольку долг должен уменьшаться равномерно, мы имеем дело со схемой дифференцированных платежей. Составим таблицу начисления процентов и погашения задолженности:

Остаток долга (начало года)	Долг с начисленными %	Размер выплаты	Остаток долга (конец года)
1) $S$	$S + \frac{Sr}{100}$	$\frac{Sr}{100} + \frac{S}{n}$	$S - \frac{S}{n}$
2) $S - \frac{S}{n}$	$\left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\left(S - \frac{S}{n}\right) \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$	$S - \frac{2S}{n}$
...	...	...	...
n) $\frac{S}{n}$	$\frac{S}{n} \cdot (1 + \frac{r}{100})$	$\frac{S}{n} \cdot \frac{r}{100} + \frac{S}{n}$	$0$

Общая сумма выплат складывается из тела кредита $S$ и суммы всех начисленных процентов. Последние образуют арифметическую прогрессию. Воспользуемся формулой суммы выплат:
$$S + \frac{r}{100} \cdot \frac{S + \frac{S}{n}}{2} \cdot n = 15$$ Подставим известные значения $S = 10$ и $r = 10$:
$10 + \frac{10}{100} \cdot \left(\frac{10 + \frac{10}{n}}{2}\right) \cdot n = 15$
$10 + \frac{1}{20} \cdot (10 + \frac{10}{n}) \cdot n = 15$
Раскроем скобки, умножая на $n$:
$10 + \frac{1}{20} \cdot (10n + 10) = 15$
Вынесем 10 за скобки и сократим дробь:
$10 + \frac{10(n + 1)}{20} = 15$
$10 + \frac{n + 1}{2} = 15$
Перенесем 10 в правую часть уравнения:
$\frac{n + 1}{2} = 5$
$n + 1 = 10$
$n = 9$.

Таким образом, кредит был взят на 9 лет.

Ответ: 9

Источник: ФИПИ