Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравне…
Прогрессии
Задание №13
№13Сложное
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны (0,5 x² + x + 7) млн рублей в…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13Среднее
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты
Задание №13
№13Лёгкое
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P. Затраты на прои…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита должна быть на 48250 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Правильный ответ

162000

Пояснение

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
Пусть $S$ — первоначальная сумма взятого кредита;
Процентная ставка составляет $r = 20\%$ , следовательно, коэффициент увеличения долга равен $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$ ;
Обозначим ежегодный равный платеж через $x$ ;
Общая сумма всех выплат банку по условию равна $S + 48250$ .

Проследим за изменением остатка долга в течение трех лет:

Год	Остаток на начало года	Долг с процентами	Платеж	Остаток после платежа
1	$S$	$Sk$	$x$	$Sk - x$
2	$Sk - x$	$(Sk - x)k$	$x$	$(Sk - x)k - x$
3	$(Sk - x)k - x$	$((Sk - x)k - x)k$	$x$	$((Sk - x)k - x)k - x$

Так как кредит был полностью погашен за три года, конечное значение долга равно нулю:
$((Sk - x)k - x)k - x = 0$ Раскроем скобки и выразим $S$ через $x$ , учитывая, что $k = \frac{6}{5}$ :
$S \cdot k^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$ $x \left(\left(\frac{6}{5}\right)^2 + \frac{6}{5} + 1\right) = S \left(\frac{6}{5}\right)^3$ Используя формулу суммы геометрической прогрессии для выражения в скобках:
$x \cdot \frac{\left(\frac{6}{5}\right)^3 - 1}{\frac{6}{5} - 1} = S \cdot \left(\frac{6}{5}\right)^3$ Отсюда находим величину одного платежа $x$ :
$x = S \cdot \frac{6^3}{5^3} \cdot \frac{\frac{6}{5} - 1}{\left(\frac{6}{5}\right)^3 - 1}$ Поскольку кредит гасился тремя равными платежами, общая сумма выплат составит $3x$ :
$3x = 3 \cdot S \cdot \frac{216}{125} \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\frac{216-125}{125}} = 3S \cdot \frac{216}{125} \cdot \frac{25}{91} = \frac{648}{455}S$ Согласно условию задачи, совокупные выплаты также можно записать как $S + 48250$ . Составим уравнение:
$\frac{648}{455}S = S + 48250$ $\left(\frac{648}{455} - 1\right)S = 48250$ $\frac{193}{455}S = 48250$ Находим основную сумму кредита:
$S = \frac{48250 \cdot 455}{193} = 250 \cdot 455 = 113750$ Теперь вычислим искомую общую сумму выплат:
$S + 48250 = 113750 + 48250 = 162000 \text{ рублей.}$

Ответ: 162000

Источник: ФИПИ