Вариант 8 · Август 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2x + \sqrt{2} \cos(x + \pi) + 1 = 0$.
Применим формулу приведения $\cos(x + \pi) = -\cos x$ и разложим косинус двойного угла через косинус одинарного: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Уравнение примет вид:
$2\cos^2 x - 1 - \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$
$2\cos^2 x - \sqrt{2}\cos x = 0$
Вынесем общий множитель за скобки:
$\cos x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
2) $2\cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, что дает нам корни $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Произведем отбор полученных решений, принадлежащих отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$, используя тригонометрическую окружность.

Вычислим значения точек, попавших в указанный интервал:
Из первой серии корней подходят значения: $-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ и $-4\pi + \frac{3\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$.
Из второй серии подходит корень: $-4\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{15\pi}{4}$.
Таким образом, искомые числа: $-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}, -\frac{15\pi}{4}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}; \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}; -\frac{15\pi}{4}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Проанализируем прямоугольные треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$. Учитывая, что сечение является ромбом, стороны $MD$ и $B_1M$ равны. Поскольку призма правильная, в её основании лежит квадрат, следовательно, $AD = A_1B_1$. Также, в силу правильности призмы, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований.
Таким образом, треугольники $ADM$ и $MA_1B_1$ равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников вытекает, что $AM = A_1M$. Это означает, что точка $M$ делит ребро $AA_1$ пополам, что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся формулой связи площади фигуры и её ортогональной проекции: площадь проекции равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостями. В данном случае проекцией ромба $MB_1KD$ на плоскость основания является квадрат $ABCD$. Найдём косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и основанием:
$$\cos \alpha = \frac{S_{ABCD}}{S_{MB_1KD}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 60^{\circ}.$$
Рассмотрим треугольник $B_1BD$. Отрезок $BD$ является диагональю квадрата, лежащего в основании.
$$BD = \sqrt{2 \cdot S_{ABCD}} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}.$$
Используя тангенс угла наклона сечения, вычислим высоту призмы $BB_1$:
$$\tan 60^{\circ} = \frac{BB_1}{BD} \Rightarrow BB_1 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2}.$$

Критерии оценивания:
— Полное и корректное доказательство пункта а) вместе с верным решением пункта б) — 3 балла
— Верное решение пункта б) или наличие доказательства а) при условии, что в б) допущена лишь вычислительная ошибка — 2 балла
— Наличие только доказательства а), или обоснованное решение б) с арифметической ошибкой, или верный ответ в б) без доказательства а) — 1 балл
— Несоответствие решения указанным критериям — 0 баллов

Ответ: $3\sqrt{2}$

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Для упрощения выражения введём новую переменную, положив $3^{x} = t$ (где $t > 0$). В результате исходное неравенство примет вид:
$$\frac{2t}{t - 9} + \frac{t + 9}{t - 3} + \frac{84}{t^{2} - 12t + 27} \leq 0$$ Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители как $(t - 9)(t - 3)$. Приведём все дроби к общему знаменателю:
$$\frac{2t(t - 3) + (t + 9)(t - 9) + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$$\frac{2t^{2} - 6t + t^{2} - 81 + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ $$\frac{3t^{2} - 6t + 3}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Вынесем общий множитель $3$ и свернём числитель по формуле квадрата разности:
$$\frac{3(t - 1)^{2}}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Из чертежа видно, что неравенство выполняется при $t = 1$ или при $3 < t < 9$. Перейдём обратно к переменной $x$:
$$\left[\begin{matrix} 3^{x} = 1 \\ 3 < 3^{x} < 9 \end{matrix}\right.$$ Решая простейшие показательные уравнения и неравенства, получаем:
$$\left[\begin{matrix} x = 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{0\} \cup (1; 2)$

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Введем обозначения для условий кредитования:
Пусть $S$ — искомая сумма кредита (в тыс. рублей);
Срок кредитования $n = 3$ года;
Процентная ставка $r = 20\%$, что соответствует коэффициенту увеличения долга $k = 1{,}2$.
Согласно условию, в первые два года (2027 и 2028) заемщик вносит фиксированные платежи по 500 тыс. рублей.
Общий объем всех выплат банку составил 1235,2 тыс. рублей.
Обозначим величину последнего платежа (за третий год) как $y$.

Проследим за изменением остатка долга в таблице:

Найдем размер третьего платежа, вычтя из общей суммы выплат известные платежи за первые два года:
$y = 1235{,}2 - (500 + 500) = 235{,}2$ тыс. рублей.

Так как к концу третьего года кредит должен быть полностью погашен, составим уравнение на основе данных таблицы, подставив $k = 1{,}2$:
$((1{,}2S - 500) \cdot 1{,}2 - 500) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$
Раскроем внутренние скобки:
$(1{,}44S - 600 - 500) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$
$(1{,}44S - 1100) \cdot 1{,}2 = 235{,}2$
Выполним умножение на 1,2:
$1{,}728S - 1320 = 235{,}2$
Перенесем свободный член в правую часть:
$1{,}728S = 1555{,}2$
Разделим обе части на коэффициент при $S$:
$S = 900$.

Таким образом, первоначальная сумма кредита составляла 900 тысяч рублей.

Ответ: 900 тыс. рублей

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$, вписанный в окружность. Острые углы $ACB$ и $CAD$ опираются на хорды $AB$ и $CD$ соответственно. Так как по условию $AB = CD$, то и соответствующие вписанные углы равны: $\angle ACB = \angle CAD$. Равенство этих накрест лежащих углов доказывает параллельность прямых $BC$ и $AD$. По аналогии, из равенства хорд $BC$ и $DE$ вытекает параллельность $CD$ и $BE$.
Таким образом, фигуры $ABCD$ и $BCDE$ представляют собой равнобедренные трапеции. Из свойств таких трапеций следует равенство их диагоналей: $AC = BD = CE$.
б) Пусть $M$ — точка, в которой пересекаются отрезки $AD$ и $BE$. В четырёхугольнике $BCDM$ противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм. Отсюда имеем: $BM = CD = AB = 3$ и $DM = BC = DE = 4$. Заметим, что треугольники $ABM$ и $MDE$ являются равнобедренными, так как $\angle BAM = \angle AMB$ (внешний угол при основании трапеции) и $\angle DME = \angle DEM$ (вертикальные и накрест лежащие углы). Эти треугольники подобны, а их коэффициент подобия равен $k = \frac{DE}{AB} = \frac{4}{3}$. Используя подобие, вычислим отрезок $ME$:
$ME = \frac{DE}{AB} \cdot AM = \frac{4}{3} \cdot (AD - DM) = \frac{4}{3} \cdot (6 - 4) = \frac{8}{3}$.
Найдём длину всей диагонали $BE$ как сумму длин её частей:
$BE = BM + ME = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.

Ответ: $\frac{17}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} |x| + |y| = a \\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases}$$ Первое уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ задает на координатной плоскости семейство квадратов с центром в начале координат, диагонали которых лежат на осях $Ox$ и $Oy$. Раскроем модули для построения границ этой фигуры:
1) Если $x \geq 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = -x + a$;
2) Если $x \geq 0, y < 0$, то получаем прямую $y = x - a$;
3) Если $x < 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = x + a$;
4) Если $x < 0, y < 0$, то получаем прямую $y = -x - a$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x + 4}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-4; 0)$ и направленную вправо. Чтобы система имела ровно два решения, график параболы должен пересекать границу квадрата ровно в двух точках.
Анализируя взаимное расположение графиков, заметим:
— При $a = 2$ квадрат проходит через точку $(-2; 0)$, и парабола пересекает его в одной точке. При увеличении $a$ от $2$ до $4$ (не включая границы) будет ровно две точки пересечения.
— При $a = 4$ правая вершина квадрата совпадает с точкой $(4; 0)$, а левая — с $(-4; 0)$. В этом случае количество точек пересечения меняется.
— Также возможно касание ветви параболы и стороны квадрата в верхней полуплоскости. Найдем значение параметра для случая касания с прямой $y = x + a$:
$$\sqrt{x + 4} = x + a$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая область определения):
$$x + 4 = (x + a)^2$$ $$x + 4 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$$ Условием касания является равенство дискриминанта нулю:
$$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0$$ $$4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 0$$ $$-4a + 17 = 0 \Rightarrow a = \frac{17}{4} = 4,25$$ При данном значении параметра $a$ графики имеют общую точку касания, что дает нам еще одно изолированное решение задачи.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4,25\}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2034$. Сумма его цифр составляет $2 + 0 + 3 + 4 = 9$. Если прибавить это значение к самому числу, получим: $2034 + 9 = 2043$.
б) Предположим, что число $599$ можно разложить на два слагаемых $A$ и $B$ с одинаковой суммой цифр. Рассмотрим процесс их сложения столбиком:
В разряде единиц сумма цифр должна оканчиваться на 9. Поскольку максимальная сумма двух цифр равна 18, она может быть только 9, следовательно, переноса в следующий разряд нет. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр без учёта переноса оканчивается на 9, значит, она равна 9, и переноса в сотни также не возникает. В разряде сотен сумма цифр равна 5.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда, исходя из отсутствия переносов, число $B$ будет иметь вид $\overline{(5-a)(9-b)(9-c)}$.
Сумма цифр числа $A$ равна $S = a + b + c$.
Сумма цифр числа $B$ равна $(5 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 23 - (a + b + c) = 23 - S$.
Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $S = 23 - S$, откуда $2S = 23$, то есть $S = 11{,}5$. Однако сумма цифр натурального числа обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что представить число 599 таким образом нельзя.
в) Обозначим искомые семь различных натуральных чисел в порядке возрастания: $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$.
Так как суммы цифр у всех этих чисел одинаковы, то при делении на 9 они дают один и тот же остаток. Это означает, что разность между любыми двумя такими числами кратна 9. Минимальный шаг между соседними числами в такой последовательности равен 9. Тогда:
$x_{2} \geq x_{1} + 9$, $x_{3} \geq x_{1} + 18$, ..., $x_{7} \geq x_{1} + 54$.
Общая сумма $S_{7}$ будет удовлетворять неравенству:
$S_{7} \geq x_{1} + (x_{1} + 9) + (x_{1} + 18) + (x_{1} + 27) + (x_{1} + 36) + (x_{1} + 45) + (x_{1} + 54) = 7x_{1} + 189$.
Проверим возможные значения суммы цифр $k$:
При $k = 1$: числа 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. Сумма слишком велика.
При $k = 2$: минимальные числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001. Сумма $1445$.
При $k = 3$: числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 201. Сумма $480$.
При $k = 4$: числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112. Сумма $325$.
При $k = 5$: числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104. Сумма $269$.
При $k = 6$: числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. Сумма $231$.
При $k = 7$: числа 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61. Сумма $238$.
Для $k \geq 7$ и $x_{1} \geq 7$ минимально возможная сумма по формуле $7x_{1} + 189$ составит $7 \cdot 7 + 189 = 238$, что уже больше 231. Дальнейшее увеличение $k$ или $x_1$ будет только увеличивать итоговую сумму. Таким образом, наименьшее значение — 231.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 231

Источник: ФИПИ