Задание №15 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Для упрощения выражения введём новую переменную, положив $3^{x} = t$ (где $t > 0$). В результате исходное неравенство примет вид:
$$\frac{2t}{t - 9} + \frac{t + 9}{t - 3} + \frac{84}{t^{2} - 12t + 27} \leq 0$$ Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители как $(t - 9)(t - 3)$. Приведём все дроби к общему знаменателю:
$$\frac{2t(t - 3) + (t + 9)(t - 9) + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые:
$$\frac{2t^{2} - 6t + t^{2} - 81 + 84}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ $$\frac{3t^{2} - 6t + 3}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Вынесем общий множитель $3$ и свернём числитель по формуле квадрата разности:
$$\frac{3(t - 1)^{2}}{(t - 9)(t - 3)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Из чертежа видно, что неравенство выполняется при $t = 1$ или при $3 < t < 9$. Перейдём обратно к переменной $x$:
$$\left[\begin{matrix} 3^{x} = 1 \\ 3 < 3^{x} < 9 \end{matrix}\right.$$ Решая простейшие показательные уравнения и неравенства, получаем:
$$\left[\begin{matrix} x = 0 \\ 1 < x < 2 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{0\} \cup (1; 2)$

Источник: ФИПИ