Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{9^{x^{2}} - 18 \cdot 3^{x^{2}} + 81} \leq 0$$ Начнём с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
$9^{x^{2}} - 18 \cdot 3^{x^{2}} + 81 \neq 0$
Заметим в левой части формулу квадрата разности:
$\left(3^{x^{2}} - 9\right)^{2} \neq 0$
Отсюда следует, что $3^{x^{2}} \neq 9$, то есть $3^{x^{2}} \neq 3^{2}$.
Значит, $x^{2} \neq 2$, откуда получаем критические точки $x \neq \pm \sqrt{2}$.
Поскольку знаменатель $\left(3^{x^{2}} - 9\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq \pm \sqrt{2}$, знак дроби определяется только числителем. Переходим к решению неравенства для числителя:
$x^{3} - x^{2} - x + 1 \leq 0$
Применим метод группировки слагаемых:
$x^{2}(x - 1) - (x - 1) \leq 0$
$(x^{2} - 1)(x - 1) \leq 0$
Разложим разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(x - 1) \leq 0$
$(x + 1)(x - 1)^{2} \leq 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь наложим ранее найденные ограничения на полученное множество решений:

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2}; -1] \cup \{1\}$

Источник: ФИПИ