Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $$\frac{x^{3} + x^{2} - x - 1}{4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16} \geq 0$$ Начнём с нахождения области допустимых значений, исключив точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
$4^{x^{2}} - 8 \cdot 2^{x^{2}} + 16 \neq 0$
Заметим, что выражение в знаменателе представляет собой полный квадрат:
$(2^{x^{2}})^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 2^{x^{2}} + 4^{2} \neq 0$
$\left(2^{x^{2}} - 4\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, $2^{x^{2}} \neq 4$, откуда $x^{2} \neq 2$. Таким образом, $x \neq \pm \sqrt{2}$.
Поскольку знаменатель $\left(2^{x^{2}} - 4\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq \pm \sqrt{2}$, знак всей дроби определяется знаком числителя. Решим неравенство:
$x^{3} + x^{2} - x - 1 \geq 0$
Применим метод группировки для разложения на множители:
$x^{2}(x + 1) - (x + 1) \geq 0$
$(x^{2} - 1)(x + 1) \geq 0$
Разложим разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1)(x + 1) \geq 0$
$(x - 1)(x + 1)^{2} \geq 0$
Определим знаки полученного выражения на числовой прямой:

Теперь сопоставим полученное решение с найденными ранее ограничениями $x \neq \pm \sqrt{2}$:

Ответ: $\{-1\} \cup [1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$

Источник: ФИПИ