Задание №16 — Рациональные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{x^{3} - x^{2} - x + 1}{4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64} \leq 0$.
Начнем с нахождения области допустимых значений, исключив те точки, в которых знаменатель обращается в нуль:
$4^{x^{2}} - 16 \cdot 2^{x^{2}} + 64 \neq 0$
Заметим в левой части формулу квадрата разности $(a-b)^2$:
$\left(2^{x^{2}} - 8\right)^{2} \neq 0$
Следовательно, $2^{x^{2}} \neq 8$. Представим 8 как $2^3$, тогда:
$x^{2} \neq 3$, откуда получаем $x \neq \pm \sqrt{3}$.
Поскольку знаменатель $\left(2^{x^{2}} - 8\right)^{2}$ всегда положителен при $x \neq \pm \sqrt{3}$, знак дроби определяется только числителем:
$x^{3} - x^{2} - x + 1 \leq 0$
Разложим многочлен на множители методом группировки:
$x^{2} (x - 1) - (x - 1) \leq 0$
$(x - 1) (x^{2} - 1) \leq 0$
Раскроем разность квадратов:
$(x - 1) (x - 1) (x + 1) \leq 0$
$(x - 1)^{2} (x + 1) \leq 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов:

Теперь наложим найденные ранее ограничения $x \neq \pm \sqrt{3}$ на полученное множество решений:

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}; -1] \cup \{1\}$

Источник: ФИПИ