Задание №15 — Показательные неравенства

Решение:
Для упрощения выражения введём новую переменную, обозначив $2^{x}$ через $t$. В результате исходное неравенство примет вид:
$$\frac{t}{t - 8} + \frac{t + 8}{t - 4} + \frac{66}{t^{2} - 12 t + 32} \leq 0$$ Заметим, что знаменатель третьей дроби раскладывается на множители как $(t-8)(t-4)$. Приведём все дроби в левой части к общему знаменателю:
$$\frac{t(t - 4) + (t + 8)(t - 8) + 66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$ Раскроем скобки и упростим числитель:
$$\frac{t^{2} - 4t + t^{2} - 64 + 66}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$ $$\frac{2t^{2} - 4t + 2}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$ Вынесем общий множитель 2 и свернём числитель по формуле квадрата разности:
$$\frac{2(t - 1)^{2}}{(t - 8)(t - 4)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Из чертежа видно, что условие выполняется при $t = 1$ или когда $t$ находится в интервале от $4$ до $8$. Перейдём обратно к переменной $x$:
$$\left[\begin{matrix} 2^{x} = 1 \\ 4 < 2^{x} < 8 \end{matrix}\right.$$ Решая простейшие показательные уравнения и неравенства, получаем:
$$\left[\begin{matrix} x = 0 \\ 2 < x < 3 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{0\} \cup (2; 3)$

Источник: ФИПИ