Задание №16 — Показательные неравенства

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{1}{3^{x} + 4} \leq \frac{2}{3 \cdot 3^{x} - 1}$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Тогда выражение примет вид: $\frac{1}{t + 4} \leq \frac{2}{3t - 1}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{t + 4} - \frac{2}{3t - 1} \leq 0$
$\frac{(3t - 1) - 2(t + 4)}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0$
$\frac{3t - 1 - 2t - 8}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0$
$\frac{t - 9}{(t + 4)(3t - 1)} \leq 0$
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Перейдем обратно к переменной $x$, учитывая найденные промежутки для $t$:
1) $t < -4 \Rightarrow 3^{x} < -4$. Данное неравенство не имеет решений, так как показательная функция всегда принимает положительные значения.
2) $\frac{1}{3} < t \leq 9$.
Разобьем на систему или решим двойным неравенством:
$3^{x} > \frac{1}{3} \Rightarrow 3^{x} > 3^{-1} \Rightarrow x > -1$;
$3^{x} \leq 9 \Rightarrow 3^{x} \leq 3^{2} \Rightarrow x \leq 2$.
Объединяя условия, получаем интервал: $x \in (-1; 2]$.

Ответ: $(-1; 2]$

Источник: ФИПИ