Вариант 9 · Август 2026

а) Преобразуем исходное уравнение: $\sin x \cdot \cos 2 x + \sin x = \sqrt{3} \cos ^{2} x$.

Вынесем общий множитель в левой части и воспользуемся формулой понижения степени для правой части: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
$$\sin x ( \cos 2 x + 1 ) = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos 2 x + 1}{2}$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель $(\cos 2x + 1)$: $$( \cos 2 x + 1 ) \left( \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$$ Данное уравнение распадается на два случая: $$\left[\begin{matrix} \cos 2 x = - 1 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} 2 x = \pi + 2 \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Rightarrow \left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi k , k \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h , h \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$

б) Найдём корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[\pi ; \frac{5 \pi}{2}\right]$, используя метод двойных неравенств:

Ответ:
а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi h, h \in \mathbb{Z}$;
б) $x = \frac{3 \pi}{2}; \quad x = \frac{7 \pi}{3}; \quad x = \frac{5 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ANB$. В нём отрезки $AN$ и $BN$ являются высотами равных правильных треугольников, следовательно, $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD.$ Так как треугольник $ANB$ равнобедренный, его медиана $NM$, проведённая к основанию $AB,$ одновременно служит и высотой, то есть $NM \perp AB.$ Проведя аналогичные рассуждения для треугольника $CMD,$ получим, что $MN \perp CD.$
б) Согласно условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $MN.$ Поскольку прямые $AB$ и $CD$ также перпендикулярны $MN,$ плоскость $\alpha$ будет им параллельна.
Пусть плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AC, AD$ и $BD$ в точках $L, P$ и $Q$ соответственно. Сечение $KLPQ$ представляет собой прямоугольник. Это объясняется тем, что пары сторон $KL \parallel PQ \parallel AB$ и $KQ \parallel LP \parallel CD,$ а так как скрещивающиеся рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны, то и смежные стороны четырёхугольника перпендикулярны.
Заметим, что треугольники $KCL$ и $KBQ$ подобны граням тетраэдра и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: $KL = KC = 3$ и $QK = BK = 1.$ Таким образом, искомая площадь сечения $KLPQ$ вычисляется как произведение его сторон: $KL \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3.$

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{3^{x} + 9}{3^{x} - 9} + \frac{3^{x} - 9}{3^{x} + 9} \geq \frac{4 \cdot 3^{x + 1} + 144}{9^{x} - 81}$.
Для упрощения введем новую переменную, пусть $3^{x} = t$, где $t > 0$.
Заметим, что $9^x - 81 = (3^x)^2 - 9^2 = (t-9)(t+9)$. Тогда неравенство примет вид:
$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{(t - 9)(t + 9)}$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{(t + 9)^{2} + (t - 9)^{2} - (12t + 144)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$.
Раскроем скобки в числителе: $t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81 - 12t - 144 = 2t^2 - 12t + 18$.
Получаем рациональное неравенство:
$\frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$, что эквивалентно $\frac{2(t - 3)^{2}}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Учитывая область допустимых значений и знак выражения, получаем совокупность условий для $t$:
$\left[\begin{matrix} t < -9 \\ t = 3 \\ t > 9 \end{matrix}\right.$
Выполним переход к исходной переменной $x$:
$\left[\begin{matrix} 3^{x} < -9 \\ 3^{x} = 3 \\ 3^{x} > 9 \end{matrix}\right.$
1) Уравнение $3^x < -9$ не имеет решений, так как показательная функция всегда положительна.
2) Из $3^x = 3^1$ следует, что $x = 1$.
3) Из $3^x > 3^2$ следует, что $x > 2$.
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{1\} \cup (2; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S$ — первоначальная сумма кредита;
$r$ — годовая процентная ставка; $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга;
$x = 58564$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 4 года;
$y = 106964$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 2 года.
Требуется определить значение $r$.

Рассмотрим первый сценарий (погашение за $n = 4$ года равными платежами $x$):

Рассмотрим второй сценарий (погашение за $n_1 = 2$ года равными платежами $y$):

Из уравнения для двухлетнего срока выразим сумму кредита $S$:
$Sk^2 - yk - y = 0$
$Sk^2 = y(k + 1)$
$S = \frac{y(k + 1)}{k^2}$

Подставим полученное выражение для $S$ в уравнение для четырехлетнего срока:
$Sk^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$\frac{y(k + 1)}{k^2} \cdot k^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$y(k + 1)k^2 - x(k^2(k + 1) + 1(k + 1)) = 0$
Вынесем общий множитель $(k + 1)$:
$(k + 1)(yk^2 - xk^2 - x) = 0$

Так как $k = 1 + \frac{r}{100} > 0$, то $k + 1 \neq 0$. Следовательно:
$k^2(y - x) - x = 0$
$k^2 = \frac{x}{y - x}$

Подставим числовые данные:
$k^2 = \frac{58564}{106964 - 58564} = \frac{58564}{48400} = 1{,}21$
Откуда $k = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$.
Зная, что $k = 1 + \frac{r}{100}$, получаем:
$1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow r = 10$.

Ответ: 10%

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Проанализируем свойства четырёхугольника $AC_1HB_1$. По условию высоты образуют прямые углы: $\angle AC_1C = \angle AB_1B = 90^{\circ}$. Так как сумма противоположных углов $AC_1H$ и $AB_1H$ составляет $180^{\circ}$, то и сумма двух других углов ($\angle C_1HB_1$ и $\angle C_1AB_1$) также будет $180^{\circ}$. Это позволяет описать вокруг данного четырёхугольника окружность. В этой окружности углы $\angle C_1B_1H$ и $\angle C_1AH$ опираются на одну и ту же дугу $C_1H$, следовательно, они равны, что и требовалось доказать.

б) Согласно теореме о вписанном угле, центральный угол $\angle BOC$ в два раза больше вписанного $\angle BAC$, то есть $\angle BOC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$. Поскольку $OB = OC$ как радиусы, треугольник $BOC$ является равнобедренным с углом $60^{\circ}$, а значит, он равносторонний.
Заметим, что точки $B, C_1, B_1, C$ лежат на одной окружности с диаметром $BC$, так как из точек $C_1$ и $B_1$ отрезок $BC$ виден под прямым углом. В таком вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$. Если обозначить $\angle ABC = \alpha$, то $\angle C_1B_1C = 180^{\circ} - \alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle AB_1C_1$ будет равен $\alpha$.
Отсюда следует, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны (по двум углам: общий угол $A$ и равные углы при вершинах $B$ и $B_1$).
Коэффициент подобия равен $\frac{AB_1}{AB} = \cos \angle A = \cos 30^{\circ}$ (из прямоугольного треугольника $ABB_1$).
Тогда $\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда находим сторону $BC = \frac{2 \cdot B_1C_1}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 18}{\sqrt{3}}$.
Искомое расстояние от центра $O$ до стороны $BC$ — это высота $OD$ в равностороннем треугольнике $COB$:
$$OD = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot BC = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \cdot 18}{\sqrt{3}} = 18.$$

Ответ: 18

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим уравнение $\sqrt{4 x - 1} \cdot \ln \left(x^{2} - 2 x + 2 - a^{2}\right) = 0$. Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых уравнение имеет ровно один корень на промежутке $[0; 1]$.
Данное уравнение равносильно следующей системе условий: $$\begin{cases} \left[ \begin{gathered} 4x - 1 = 0 \quad (1) \\ \ln(x^2 - 2x + 2 - a^2) = 0 \quad (2) \end{gathered} \right. \\ x^2 - 2x + 2 - a^2 > 0 \\ 4x - 1 \geq 0 \end{cases}$$ Из первого уравнения получаем потенциальный корень: $x_1 = \frac{1}{4}$.
Решим второе уравнение совокупности: $$x^2 - 2x + 2 - a^2 = 1$$ $$x^2 - 2x + 1 = a^2$$ $$(x - 1)^2 = a^2$$ Откуда находим еще два значения: $x = 1 \pm a$.
Проанализируем корень $x_1 = \frac{1}{4}$. Он лежит в заданном отрезке $[0; 1]$. Проверим условия его существования (ОДЗ):
1) $4 \cdot \frac{1}{4} - 1 \geq 0 \Rightarrow 0 \geq 0$ (верно для любого $a$);
2) $\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} + 2 - a^2 > 0$
$\frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow \frac{25}{16} - a^2 > 0$.
Следовательно, $x_1$ является корнем при $a \in \left(-\frac{5}{4}; \frac{5}{4}\right)$.
Теперь рассмотрим корни $x_2 = 1 + a$ и $x_3 = 1 - a$. Для них должны выполняться условия нахождения в отрезке $[0; 1]$ и условия ОДЗ:
Для $x_2 = 1 + a$: $$\begin{cases} (1+a)^2 - 2(1+a) + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \, (\text{верно}) \\ 4(1+a) - 1 \geq 0 \Rightarrow a \geq -\frac{3}{4} \\ 0 \leq 1+a \leq 1 \Rightarrow -1 \leq a \leq 0 \end{cases}$$ Объединяя, получаем $a \in [-\frac{3}{4}; 0]$.
Для $x_3 = 1 - a$: $$\begin{cases} (1-a)^2 - 2(1-a) + 2 - a^2 > 0 \Rightarrow 1 > 0 \, (\text{верно}) \\ 4(1-a) - 1 \geq 0 \Rightarrow a \leq \frac{3}{4} \\ 0 \leq 1-a \leq 1 \Rightarrow 0 \leq a \leq 1 \end{cases}$$ Объединяя, получаем $a \in [0; \frac{3}{4}]$.
Исследуем случаи совпадения корней:
1) $x_1 = x_2 \Rightarrow \frac{1}{4} = 1 + a \Rightarrow a = -\frac{3}{4}$;
2) $x_1 = x_3 \Rightarrow \frac{1}{4} = 1 - a \Rightarrow a = \frac{3}{4}$;
3) $x_2 = x_3 \Rightarrow 1 + a = 1 - a \Rightarrow a = 0$.
Наглядно представим области существования корней на числовой прямой для параметра $a$:

Учитывая условия, при которых в заданном интервале остается только один корень (либо $x_1$ единственный, либо он совпадает с другими корнями), получаем итоговый результат.

Ответ: $( - \frac{5}{4} ; - \frac{3}{4} ] \cup [ \frac{3}{4} ; \frac{5}{4} )$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших по 5 писем, а через $y$ — количество юношей, отправивших по 16 писем. Согласно условию, общее число юношей совпадает с числом девушек, следовательно, в группе $x + y$ девушек. Суммарное количество писем, отправленных юношами, выражается формулой $5x + 16y$.
а) Проверим, достижима ли ситуация, когда каждая девушка получила ровно по 7 писем. Составим уравнение:
$5x + 16y = 7(x + y)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5x + 16y = 7x + 7y$
$9y = 2x$
Данное уравнение имеет решение в натуральных числах, например: $x = 9$ и $y = 2$.
В этом случае 9 юношей отправили по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем. Всего было отправлено $9 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 45 + 32 = 77$ писем. Так как девушек в группе $9 + 2 = 11$, и каждая получила по 7 писем, общее число полученных писем также равно $11 \cdot 7 = 77$.
Значит, такая ситуация возможна.
б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. Тогда общее количество писем должно удовлетворять равенству $5x + 16y = n(x + y)$.
Преобразуем выражение:
$16y - ny = nx - 5x$
$y(16 - n) = x(n - 5)$
Отсюда следует, что отношение $x/y = (16 - n)/(n - 5)$. Чтобы найти минимально возможное общее количество человек, возьмем наименьшие целые значения для $x$ и $y$, соответствующие этому отношению: $x = 16 - n$ и $y = n - 5$.
Тогда число девушек в группе составит:
$x + y = (16 - n) + (n - 5) = 11$.
Таким образом, если количество полученных писем у всех девушек одинаково, их число всегда будет кратно 11.
в) Пусть $z$ — общее количество юношей (и, соответственно, девушек). Если $x$ юношей отправили по 5 писем, то остальные $z - x$ человек отправили по 16 писем. Общее число писем: $5x + 16(z - x)$.
По условию все девушки получили разное количество писем. Чтобы максимизировать число девушек, предположим, что они получили минимально возможные различные количества писем, начиная с нуля: $0, 1, 2, \dots, z-1$.
Сумма такой арифметической прогрессии равна $\frac{z(z - 1)}{2}$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$5x + 16(z - x) \geq \frac{z(z - 1)}{2}$
Учитывая, что $x \geq 0$, оценим максимальное значение левой части как $16z$:
$16z \geq \frac{z(z - 1)}{2} \Rightarrow 32 \geq z - 1 \Rightarrow z \leq 33$.
Проверим значение $z = 32$:
$5x + 16(32 - x) \geq \frac{32 \cdot 31}{2}$
$5x + 512 - 16x \geq 496$
$11x \leq 16$. Так как по условию юношей, отправивших разное количество писем, не менее двух, то $x \geq 1$ и $z-x \geq 1$. Однако при $x=1$ условие выполняется, но нужно проверить целые решения для распределения писем. При $z=32$ и $x=1$ писем $501$, а сумма от $0$ до $31$ равна $496$. Но при $x \geq 2$ решений нет.
Проверим $z = 31$:
$5x + 16(31 - x) \geq \frac{31 \cdot 30}{2}$
$5x + 496 - 16x \geq 465$
$11x \leq 31$. Это возможно при $x = 1$ или $x = 2$.
При $x = 2$ получаем $5 \cdot 2 + 16 \cdot 29 = 10 + 464 = 474$ письма, что больше минимально необходимой суммы $465$.
Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно 31.

Ответ: а) да; б) 11; в) 31

Источник: ФИПИ