Задание №12 — Нахождение наибольших и наименьших значений функции

Ход решения:
Для начала вычислим производную заданной функции и определим её критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $$y' = \frac{3}{x + 2} - 3$$ Приравняем полученное выражение к нулю: $$\frac{3}{x + 2} - 3 = 0 \implies \frac{3}{x + 2} = 3 \implies x + 2 = 1 \implies x = -1$$

Анализируя знаки производной методом интервалов, заметим, что при переходе через $x = -1$ производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, $x = -1$ является точкой максимума. Это означает, что на промежутке $[-1,5; -1]$ функция монотонно растёт, а на отрезке $[-1; 0]$ — убывает.

Таким образом, своего наибольшего значения на рассматриваемом отрезке функция достигает именно в точке $x = -1$: $$y(-1) = 3 \ln(-1 + 2) - 3(-1) + 10 = 3 \ln 1 + 3 + 10 = 0 + 3 + 10 = 13$$

Ответ: 13

Источник: ФИПИ