Задание №12 — Нахождение точек экстремума

Решение:
Для нахождения критических точек вычислим производную заданной функции по правилу дифференцирования частного и приравняем полученное выражение к нулю: $$y' = \frac{-(x^2 + 256) + x \cdot 2x}{(x^2 + 256)^2} = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2}.$$ Дробь обращается в нуль, когда её числитель равен нулю: $$x^2 - 256 = 0 \implies x^2 = 256 \implies x = \pm 16.$$

Проанализируем знаки производной на числовой прямой. Используя метод интервалов, заметим, что при переходе через значение $x = 16$ производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, искомая точка минимума — это $16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ