Задание №16 — Кредиты

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S$ — первоначальная сумма кредита;
$r$ — годовая процентная ставка; $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга;
$x = 58564$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 4 года;
$y = 106964$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 2 года.
Требуется определить значение $r$.

Рассмотрим первый сценарий (погашение за $n = 4$ года равными платежами $x$):

Рассмотрим второй сценарий (погашение за $n_1 = 2$ года равными платежами $y$):

Из уравнения для двухлетнего срока выразим сумму кредита $S$:
$Sk^2 - yk - y = 0$
$Sk^2 = y(k + 1)$
$S = \frac{y(k + 1)}{k^2}$

Подставим полученное выражение для $S$ в уравнение для четырехлетнего срока:
$Sk^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$\frac{y(k + 1)}{k^2} \cdot k^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$y(k + 1)k^2 - x(k^2(k + 1) + 1(k + 1)) = 0$
Вынесем общий множитель $(k + 1)$:
$(k + 1)(yk^2 - xk^2 - x) = 0$

Так как $k = 1 + \frac{r}{100} > 0$, то $k + 1 \neq 0$. Следовательно:
$k^2(y - x) - x = 0$
$k^2 = \frac{x}{y - x}$

Подставим числовые данные:
$k^2 = \frac{58564}{106964 - 58564} = \frac{58564}{48400} = 1{,}21$
Откуда $k = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$.
Зная, что $k = 1 + \frac{r}{100}$, получаем:
$1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow r = 10$.

Ответ: 10%

Источник: ФИПИ