Задание 13

Экономическая задача · 80 заданий

Задание №13
№13
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r \% по сравн…
Целые и дробно-рацион. ур-я
Задание №13
№13
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 4,2 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 300000 рублей. Условия возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r \% по сравн…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июне 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере 6,6 млн рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает н…
Прогрессии
Задание №13
№13
Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство x тыс. единиц продукции на таком заводе равны ( 0,5 x^2 + x + 7 ) млн рублей…
Целые и дробно-рацион. нер-ва
Задание №13
№13
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия по этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 819…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия н этом счету таковы: - 1 июля 2026 года Андрей помещает на счёт 4880…
Прогрессии
Задание №13
№13
В июле планируется открыть вклад в банке под 20% годовых на некоторую сумму. В начале 2, 3 и 4 годов со вклада снимают одну и ту же сумму. Найдите исх…
Прогрессии
Задание №13
№13
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого меся…
Прогрессии
Задание №13
№13
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на 9 миллионов рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1-го числа каждого месяца до…
Прогрессии
Задание №13
№13
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 20000 ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 20000 - P . Затраты на пр…
Дроби, проценты
Задание №13
№13
Зависимость количества Q (в шт., 0 ⩽ Q ⩽ 15000 ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой Q = 15000 - P . Затраты на пр…
Дроби, проценты

Задание №13 — Кредиты

ПрогрессииКредит с равными (аннуитетными) платежамиКредит с дифференцированными платежамиНахождение ставки или суммы кредита из уравненияСрок кредитаВклады и начисление процентовОптимизация прибыли и издержек производства

1 баллФИПИ#22907

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на $r$ % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Если ежегодно выплачивать по 58564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите $r .$

Правильный ответ

Пояснение

Решение:
Введем обозначения для условий задачи:
$S$ — первоначальная сумма кредита;
$r$ — годовая процентная ставка; $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент увеличения долга;
$x = 58564$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 4 года;
$y = 106964$ рубля — ежегодный платеж при погашении за 2 года.
Требуется определить значение $r$ .

Рассмотрим первый сценарий (погашение за $n = 4$ года равными платежами $x$ ):

Период	Остаток до %	Долг с процентами	Платеж	Остаток после выплаты
1 год	$S$	$Sk$	$x$	$Sk - x$
2 год	$Sk - x$	$(Sk - x)k$	$x$	$Sk^2 - xk - x$
3 год	$Sk^2 - xk - x$	$(Sk^2 - xk - x)k$	$x$	$Sk^3 - xk^2 - xk - x$
4 год	$Sk^3 - xk^2 - xk - x$	$(Sk^3 - xk^2 - xk - x)k$	$x$	$Sk^4 - xk^3 - xk^2 - xk - x = 0$

Рассмотрим второй сценарий (погашение за $n_1 = 2$ года равными платежами $y$ ):

Период	Остаток до %	Долг с процентами	Платеж	Остаток после выплаты
1 год	$S$	$Sk$	$y$	$Sk - y$
2 год	$Sk - y$	$(Sk - y)k$	$y$	$(Sk - y)k - y = 0$

Из уравнения для двухлетнего срока выразим сумму кредита $S$ :
$Sk^2 - yk - y = 0$
$Sk^2 = y(k + 1)$
$S = \frac{y(k + 1)}{k^2}$

Подставим полученное выражение для $S$ в уравнение для четырехлетнего срока:
$Sk^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$\frac{y(k + 1)}{k^2} \cdot k^4 - x(k^3 + k^2 + k + 1) = 0$
$y(k + 1)k^2 - x(k^2(k + 1) + 1(k + 1)) = 0$
Вынесем общий множитель $(k + 1)$ :
$(k + 1)(yk^2 - xk^2 - x) = 0$

Так как $k = 1 + \frac{r}{100} > 0$ , то $k + 1 \neq 0$ . Следовательно:
$k^2(y - x) - x = 0$
$k^2 = \frac{x}{y - x}$

Подставим числовые данные:
$k^2 = \frac{58564}{106964 - 58564} = \frac{58564}{48400} = 1{,}21$
Откуда $k = \sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ .
Зная, что $k = 1 + \frac{r}{100}$ , получаем:
$1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0{,}1 \Rightarrow r = 10$ .

Ответ: 10%

Источник: ФИПИ