Задание №15 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^{\circ}$.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Высота $h$, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой. Это значит, что она делит основание пополам, образуя два равных прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. В нём:
— гипотенуза равна стороне треугольника $a$;
— один из катетов — это высота $h = 12 \sqrt{3}$;
— второй катет равен половине стороны треугольника, то есть $\frac{a}{2}$.

Воспользуемся теоремой Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
$h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2$

Подставим известное значение высоты:
$(12 \sqrt{3})^2 + \frac{a^2}{4} = a^2$

Вычислим квадрат высоты:
$12^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432$

Теперь уравнение выглядит так:
$432 + \frac{a^2}{4} = a^2$

Перенесём слагаемые с $a$ в одну сторону:
$a^2 - \frac{a^2}{4} = 432$
$\frac{3a^2}{4} = 432$

Выразим $a^2$:
$3a^2 = 432 \cdot 4$
$3a^2 = 1728$
$a^2 = 1728 : 3$
$a^2 = 576$

Найдём сторону $a$, извлекая корень из $576$:
$a = \sqrt{576} = 24$

Ответ: 24

Источник: ФИПИ