Задание №9 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 81 = 0$ воспользуемся методом разложения на множители или методом извлечения квадратного корня.

Способ 1: Разложение на множители.
Заметим, что число $81$ — это $9^{2}$. Уравнение принимает вид:
$x^{2} - 9^{2} = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 9)(x + 9) = 0$.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждую скобку к нулю:
1) $x - 9 = 0 \Rightarrow x_{1} = 9$;
2) $x + 9 = 0 \Rightarrow x_{2} = -9$.

Способ 2: Перенос слагаемого.
Перенесём число $-81$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^{2} = 81$.
Корнями данного уравнения являются числа, квадрат которых равен $81$:
$x = \pm \sqrt{81}$;
$x_{1} = 9$, $x_{2} = -9$.

Выбор ответа:
Уравнение имеет два корня: $9$ и $-9$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них. Сравним полученные числа:
$-9 < 9$.
Следовательно, меньшим корнем является $-9$.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ