Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Высота каждого следующего прыжка в 3 раза меньше предыдущей. Это означает, что высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, где:
— первый член $b_1 = 6,3$ м (высота после первого прыжка);
— знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{3}$.

2. Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 25 см. Для начала приведем все данные к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры:
$b_1 = 6,3 \text{ м} = 630 \text{ см}$.

3. Вспомним формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам нужно решить неравенство: $b_n < 25$.

4. Будем последовательно вычислять высоту каждого прыжка, пока не получим значение меньше 25:
— 1-й прыжок: $b_1 = 630$ см (это больше 25);
— 2-й прыжок: $b_2 = 630 \cdot \frac{1}{3} = 210$ см (это больше 25);
— 3-й прыжок: $b_3 = 210 \cdot \frac{1}{3} = 70$ см (это больше 25);
— 4-й прыжок: $b_4 = 70 \cdot \frac{1}{3} = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$ см.

5. Сравним полученный результат для 4-го прыжка с пороговым значением:
$23\frac{1}{3} \approx 23,33$ см.
Так как $23,33 < 25$, условие задачи выполняется именно на 4-м прыжке.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ