Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса изотопа уменьшается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Сначала определим количество периодов полураспада, которые пройдут за указанное время. По условию, масса уменьшается вдвое каждые $8$ минут. Общее время составляет $40$ минут.
Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 40 : 8 = 5$.
Это значит, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $5$ раз.

2. Обозначим начальную массу как $b_1 = 320$ мг.
Так как масса каждый раз уменьшается вдвое, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

3. Нам нужно найти массу после $5$ циклов уменьшения.
После 1-го периода (через 8 мин): $320 \cdot \frac{1}{2} = 160$ мг.
После 2-го периода (через 16 мин): $160 \cdot \frac{1}{2} = 80$ мг.
После 3-го периода (через 24 мин): $80 \cdot \frac{1}{2} = 40$ мг.
После 4-го периода (через 32 мин): $40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ мг.
После 5-го периода (через 40 мин): $20 \cdot \frac{1}{2} = 10$ мг.

4. Эту же операцию можно записать одной формулой:
$m = 320 \cdot (\frac{1}{2})^5$
$m = 320 \cdot \frac{1}{32}$
$m = 10$.

Таким образом, через 40 минут масса изотопа составит 10 мг.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ