Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Высоты, на которые поднимается мячик после каждого прыжка, образуют геометрическую прогрессию $(b_n)$, где $n$ — номер прыжка.

1. По условию задачи, после первого прыжка мячик поднялся на высоту $b_1 = 4,8$ м.
Так как при каждом следующем прыжке высота уменьшается в два раза, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

2. Нам нужно найти номер прыжка $n$, при котором высота $b_n$ станет меньше 10 см.
Для удобства вычислений переведём все величины в одну систему единиц. Переведём метры в сантиметры:
$b_1 = 4,8 \text{ м} = 480 \text{ см}$.

3. Составим неравенство по формуле $n$-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:
$480 \cdot (0,5)^{n-1} < 10$.

4. Разделим обе части неравенства на 480:
$(0,5)^{n-1} < \frac{10}{480}$
$(0,5)^{n-1} < \frac{1}{48}$.

5. Будем последовательно вычислять значения высоты для каждого прыжка, чтобы найти первый подходящий номер $n$:
— При $n = 1$: $b_1 = 480$ см;
— При $n = 2$: $b_2 = 480 : 2 = 240$ см;
— При $n = 3$: $b_3 = 240 : 2 = 120$ см;
— При $n = 4$: $b_4 = 120 : 2 = 60$ см;
— При $n = 5$: $b_5 = 60 : 2 = 30$ см;
— При $n = 6$: $b_6 = 30 : 2 = 15$ см;
— При $n = 7$: $b_7 = 15 : 2 = 7,5$ см.

6. Мы видим, что при седьмом прыжке высота $7,5$ см впервые стала меньше заданного порога в 10 см.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ