Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Проанализируем условие задачи. Расстояние, которое автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
Первый член прогрессии (путь за первую секунду): $a_1 = 28$.
Разность прогрессии (так как путь уменьшается): $d = -4$.
Автомобиль движется до полной остановки, значит, в последнюю секунду движения он должен пройти положительное расстояние, максимально близкое к нулю, либо мы можем найти момент, когда скорость станет равной нулю.

2. Найдём количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался. В последнюю секунду движения пройденный путь $a_n$ должен быть больше нуля, а в следующую за ней он бы стал равен нулю или меньше. Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d(n - 1)$
Так как автомобиль останавливается, найдём $n$, при котором $a_n = 0$ (теоретическая остановка):
$0 = 28 + (-4)(n - 1)$
$0 = 28 - 4n + 4$
$4n = 32$
$n = 8$
Это означает, что на 8-й секунде автомобиль проедет последние метры и остановится.

3. Проверим путь за 8-ю секунду:
$a_8 = 28 + (-4)(8 - 1) = 28 - 28 = 0$.
Это подтверждает, что процесс торможения длился 8 секунд (в последнюю секунду скорость упала до нуля).

4. Чтобы найти общий путь до остановки, нужно вычислить сумму первых 8 членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой суммы:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим наши значения:
$S_8 = \frac{28 + 0}{2} \cdot 8$
$S_8 = \frac{28}{2} \cdot 8$
$S_8 = 14 \cdot 8$
$S_8 = 112$

Таким образом, автомобиль до полной остановки прошёл 112 метров.

Ответ: 112

Источник: ФИПИ