Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Разберем условие задачи. Расстояния, которые автомобиль проезжает за каждую секунду, уменьшаются на одно и то же число. Это означает, что перед нами арифметическая прогрессия.

Выпишем известные данные:
1. Расстояние за первую секунду: $a_1 = 12$ м.
2. Разность прогрессии (так как расстояние уменьшается): $d = -3$ м/с.
3. Автомобиль движется до полной остановки. Это значит, что в последнюю секунду движения он пройдет какое-то положительное расстояние, а в следующую за ней теоретическую секунду его скорость (и пройденный путь) станет равной или меньше нуля. Найдем количество секунд $n$, в течение которых автомобиль двигался.

Для этого воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n - 1)$.
Так как автомобиль останавливается, последний член прогрессии $a_n$ должен быть последним положительным числом в этой последовательности. Проверим, когда $a_n > 0$:
$12 + (-3)(n - 1) > 0$
$12 - 3n + 3 > 0$
$15 - 3n > 0$
$3n < 15$
$n < 5$

Это означает, что автомобиль двигался полные 4 секунды, а на 5-й секунде его скорость стала бы равной нулю ($a_5 = 12 - 3(5-1) = 0$). Таким образом, процесс торможения занял время до момента, когда пройденный за секунду путь стал равен 0. Мы можем считать $n = 5$ (включая последнюю секунду, где путь равен 0) или $n = 4$. Результат суммы будет одинаковым.

Найдем сумму всех пройденных отрезков пути за эти секунды. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

Подставим значения для $n = 5$ (до полной остановки):
$S_5 = \frac{2 \cdot 12 + (-3)(5 - 1)}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{24 - 12}{2} \cdot 5$
$S_5 = \frac{12}{2} \cdot 5$
$S_5 = 6 \cdot 5 = 30$

Таким образом, до полной остановки автомобиль прошел 30 метров.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ