Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии или просто последовательным делением массы изотопа.

1. Сначала определим, сколько раз масса изотопа уменьшится вдвое за указанное время. По условию, период полураспада составляет $9$ минут, а общее время процесса — $45$ минут.
Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 45 : 9 = 5$.
Это означает, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $5$ раз.

2. Пусть $b_0 = 640$ мг — начальная масса изотопа.
Через первые $9$ минут масса станет: $640 : 2 = 320$ мг.
Через $18$ минут: $320 : 2 = 160$ мг.
Через $27$ минут: $160 : 2 = 80$ мг.
Через $36$ минут: $80 : 2 = 40$ мг.
Через $45$ минут: $40 : 2 = 20$ мг.

3. Тот же результат можно получить быстрее, используя формулу $n$-го члена геометрической прогрессии или просто формулу распада:
$m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$, где $m_0$ — начальная масса, а $n$ — количество периодов.
$m = 640 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 640 \cdot \frac{1}{32}$.
Разделим $640$ на $32$:
$640 : 32 = 20$.

Таким образом, через $45$ минут масса изотопа составит $20$ мг.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ