Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса изотопа уменьшается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Сначала определим, сколько раз произойдёт уменьшение массы (количество периодов полураспада). Общее время составляет $48$ минут, а масса уменьшается каждые $8$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 48 : 8 = 6$.
Значит, масса изотопа будет уменьшаться вдвое $6$ раз.

2. Обозначим начальную массу как $b_1 = 320$ мг. Поскольку масса уменьшается вдвое, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

3. Нам нужно найти массу после $6$ циклов уменьшения. Составим цепочку вычислений или воспользуемся формулой $n$-го члена.
Заметим, что через 1 период (8 мин) масса станет: $320 : 2 = 160$;
через 2 периода (16 мин): $160 : 2 = 80$;
через 3 периода (24 мин): $80 : 2 = 40$;
через 4 периода (32 мин): $40 : 2 = 20$;
через 5 периодов (40 мин): $20 : 2 = 10$;
через 6 периодов (48 мин): $10 : 2 = 5$.

4. Также это можно рассчитать по формуле: $m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$, где $m_0$ — начальная масса, а $n$ — количество периодов.
$m = 320 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 320 \cdot \frac{1}{64} = \frac{320}{64} = 5$.

Таким образом, через 48 минут масса изотопа составит 5 мг.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ