Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения задачи проанализируем, как изменяется масса колонии микроорганизмов с течением времени.

1. Сначала определим количество периодов увеличения массы. По условию, масса увеличивается каждые 30 минут. Общее время эксперимента составляет 120 минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$120 : 30 = 4$ (периода).

2. Данный процесс представляет собой геометрическую прогрессию, где:
— первый член $b_1 = 4$ мг (начальная масса);
— знаменатель прогрессии $q = 3$ (так как масса увеличивается в 3 раза);
— количество шагов увеличения равно 4.

3. Рассчитаем массу колонии поэтапно:
— Через 30 минут (1-й этап): $4 \cdot 3 = 12$ мг;
— Через 60 минут (2-й этап): $12 \cdot 3 = 36$ мг;
— Через 90 минут (3-й этап): $36 \cdot 3 = 108$ мг;
— Через 120 минут (4-й этап): $108 \cdot 3 = 324$ мг.

4. Также можно воспользоваться формулой $n$-го члена геометрической прогрессии. Искомая масса через 4 периода будет соответствовать пятому члену последовательности (так как $b_1$ — это масса в момент времени 0):
$b_5 = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = 4 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$.

Таким образом, через 120 минут масса колонии составит 324 мг.

Ответ: 324

Источник: ФИПИ