Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Так как в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число, то количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность прогрессии (то самое число, на которое увеличивается количество мест в каждом ряду).

2. Нам известны данные для пятого и седьмого рядов:
$a_5 = 27$
$a_7 = 31$

3. Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_7 = a_5 + 2d$

Подставим значения и найдем разность $d$:
$31 = 27 + 2d$
$2d = 31 - 27$
$2d = 4$
$d = 2$

Значит, в каждом следующем ряду на 2 места больше, чем в предыдущем.

4. Теперь найдем количество мест в первом ряду ($a_1$), используя значение $a_5$:
$a_5 = a_1 + 4d$
$27 = a_1 + 4 \cdot 2$
$27 = a_1 + 8$
$a_1 = 27 - 8 = 19$

5. Нам нужно найти количество мест в последнем ряду. Всего в амфитеатре 23 ряда, значит, ищем $a_{23}$:
$a_{23} = a_1 + (23 - 1) \cdot d$
$a_{23} = 19 + 22 \cdot 2$
$a_{23} = 19 + 44$
$a_{23} = 63$

Ответ: 63

Источник: ФИПИ