Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса изотопа уменьшается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим количество периодов распада. По условию, масса уменьшается вдвое каждые $9$ минут. Общее время процесса составляет $63$ минуты. Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 63 : 9 = 7$.
Это означает, что масса изотопа будет уменьшаться вдвое $7$ раз.

2. Составим последовательность значений массы. Пусть $b_1 = 320$ мг — начальная масса изотопа.
Через $9$ минут (1-й период) масса станет $b_2$, через $18$ минут (2-й период) — $b_3$, и так далее.
Нам нужно найти массу через $7$ периодов, то есть восьмой член геометрической прогрессии $b_8$, где знаменатель $q = \frac{1}{2} = 0,5$.

3. Применим формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
В нашем случае $n = 8$, так как начальный момент — это первый член, а после семи делений мы получим восьмой член:
$b_8 = 320 \cdot (\frac{1}{2})^7$.

4. Выполним вычисления:
Возведем $2$ в седьмую степень: $2^7 = 128$.
Тогда $b_8 = 320 \cdot \frac{1}{128} = \frac{320}{128}$.
Сократим дробь на $64$:
$\frac{320}{128} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Таким образом, через $63$ минуты масса изотопа составит $2,5$ мг.

Ответ: 2,5

Источник: ФИПИ