Задание №14 — Числовые последовательности

Решение.

1. Проанализируем условие задачи. Так как в каждом следующем ряду количество мест увеличивается на одно и то же число, мы имеем дело с арифметической прогрессией.

2. Обозначим через $a_n$ количество мест в ряду с номером $n$, а через $d$ — разность прогрессии (то самое число, на которое увеличивается количество мест в каждом ряду).

3. Нам известны данные для двух рядов:
— в четвёртом ряду 23 места: $a_4 = 23$;
— в восьмом ряду 35 мест: $a_8 = 35$.

4. Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_4 = a_1 + 3d = 23$
$a_8 = a_1 + 7d = 35$

5. Чтобы найти разность $d$, вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 35 - 23$
$4d = 12$
$d = 12 : 4$
$d = 3$.
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

6. Теперь найдём количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив $d = 3$ в уравнение для четвёртого ряда:
$a_1 + 3 \cdot 3 = 23$
$a_1 + 9 = 23$
$a_1 = 23 - 9$
$a_1 = 14$.

7. Нам нужно узнать, сколько мест в последнем ряду. Всего в амфитеатре 16 рядов, значит, ищем $a_{16}$:
$a_{16} = a_1 + (16 - 1) \cdot d$
$a_{16} = 14 + 15 \cdot 3$
$a_{16} = 14 + 45$
$a_{16} = 59$.

Ответ: 59

Источник: ФИПИ