Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а все углы составляют $60^{\circ}$. Биссектриса, проведённая к стороне, также является медианой и высотой.

2. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Биссектриса (она же высота) делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из них.

3. В этом прямоугольном треугольнике:
— гипотенуза равна стороне исходного треугольника, то есть $a$;
— один из катетов — это биссектриса, равная $11 \sqrt{3}$;
— угол, противолежащий этому катету, равен $60^{\circ}$ (так как это угол равностороннего треугольника).

4. Воспользуемся определением синуса угла: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$\sin 60^{\circ} = \frac{11 \sqrt{3}}{a}$

5. Мы знаем, что $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{11 \sqrt{3}}{a}$

6. Выразим сторону $a$, используя свойство пропорции (перемножим крест-накрест):
$a \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 11 \sqrt{3}$
$a \cdot \sqrt{3} = 22 \sqrt{3}$

7. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$a = 22$

Таким образом, сторона треугольника равна $22$.

Ответ: 22

Источник: ФИПИ