Задание №15 — Геометрия

Решение.

1. Вспомним свойства равностороннего треугольника. В таком треугольнике все стороны равны, а медиана, проведённая к стороне, также является высотой и биссектрисой. Обозначим сторону треугольника за $a$, а медиану (высоту) за $h$.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $a$ и половиной основания $a/2$. По теореме Пифагора:
$a^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2$

3. Выразим высоту $h$ через сторону $a$:
$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4}$
$h^2 = \frac{3a^2}{4}$
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

4. По условию задачи медиана (высота) равна $11\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$11\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

5. Теперь найдём сторону $a$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$11 = \frac{a}{2}$

6. Умножим обе части на 2:
$a = 11 \cdot 2 = 22$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 22.

Ответ: 22

Источник: ФИПИ