Задание №15 — Геометрия

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. Пусть сторона треугольника равна $a$, а его высота равна $h$.

Способ 1: Использование формулы высоты.
В равностороннем треугольнике высота $h$ выражается через сторону $a$ по формуле:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим известное значение стороны $a = 12\sqrt{3}$ в эту формулу:
$h = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

Вспомним, что произведение корней $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$. Тогда:
$h = \frac{12 \cdot 3}{2}$
$h = \frac{36}{2}$
$h = 18$

Способ 2: Теорема Пифагора.
Высота в равностороннем треугольнике также является медианой, то есть она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной стороны и боковой стороной.
1. Гипотенуза равна стороне треугольника: $12\sqrt{3}$.
2. Один из катетов равен половине стороны: $\frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.
3. Второй катет — это искомая высота $h$.

По теореме Пифагора:
$h^2 + (6\sqrt{3})^2 = (12\sqrt{3})^2$
$h^2 + 36 \cdot 3 = 144 \cdot 3$
$h^2 + 108 = 432$
$h^2 = 432 - 108$
$h^2 = 324$
$h = \sqrt{324} = 18$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ